[論文レビュー] Existence of common hypercyclic vectors for translation operators

Nikos Tsirivas|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、|λₙ| → ∞ かつ |λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 を満たす非ゼロの複素数からなる列 (λₙ) によって誘導される非可算個の平行移動作用素の共通超巡回ベクトルとなる全関数の残渣集合の存在を確立する。バナッハ・カテゴリー論法を用いて、このような列に対して、任意のゼロでない a ∈ ℂ に対して {f(z + λₙ a)}ₙ₌₁^∞ が ℋ(ℂ) で稠密であるような関数 f の集合が残渣であることを証明している。これは、Costakis と Sambarino の結果（λₙ = n の場合に限る）を一般化したものであり、漸近的意味で最良の結果であることが示されている。

ABSTRACT

We prove the existence of common hypercyclic, entire functions for certain families of translation operators.

研究の動機と目的

• 整数の平行移動に関する Costakis と Sambarino の共通超巡回関数の結果を、複素数列 (λₙ) のより一般的な場合に拡張すること。
• すべてのゼロでない平行移動パラメータ a ∈ ℂ に対して、共通超巡回ベクトルの残渣集合が存在するような (λₙ) の成長および比の条件の最適性を特定すること。
• このような共通超巡回ベクトルの存在にあたって、|λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 という条件が本質的に必要であることの証明。
• 超多項式的および非単調的成長を示す列を含む、必要な漸近的比の条件を満たす列 (λₙ) の包括的なクラスの構成。

提案手法

• 局所一様収束位相における ℋ(ℂ) における共通超巡回ベクトルの集合が残渣であることを示すために、バナッハ・カテゴリ一様定理を適用する。
• 部分列の比集合の上極限を用いて定義される i(Λ) = 1 の概念を用い、共通超巡回性が成立する列 (λₙ) を特徴付ける。
• 多項式的、対数的、超多項式的成長タイプを含む、|λₙ| → ∞ かつ |λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 を満たす列 (λₙ) の明示的例を構成する。
• 10の累乗を用いた整数の一意表現に基づく新規な構成法を導入し、inf ℬ(Λ) ∉ ℬ(Λ) であるが i(Λ) = 1 であるような列を生成する。
• 部分列 μₙ に対する |μₙ₊₁/μₙ| の上極限の集合 ℬ(Λ) の挙動を解析し、臨界的成長閾値を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 |λₙ| → ∞ を満たす非ゼロの複素数列 (λₙ) に対して、任意のゼロでない a ∈ ℂ に対して {f(z + λₙ a)}ₙ₌₁^∞ が ℋ(ℂ) で稠密であるような全関数 f の残渣集合が存在するような (λₙ) はどのようなものか？
• RQ2 このような共通超巡回ベクトルの存在にあたって、|λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 という条件は必要か？
• RQ3 Costakis と Sambarino が以前に示した λₙ = n の場合を越えて、この結果を拡張できるか？
• RQ4 |λₙ₊₁|/|λₙ| → l > 1 を満たす列 (λₙ) に対して、このような共通超巡回ベクトルが存在しないものは存在するか？

主な発見

• |λₙ| → ∞ かつ |λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 を満たす条件下で、ℋ(ℂ) の部分集合 G が存在し、G の任意の f および任意のゼロでない a ∈ ℂ に対して、{f(z + λₙ a)}ₙ₌₁^∞ が位相 𝒯ᵤ において ℋ(ℂ) で稠密である。
• この結果は、|λₙ₊₁|/|λₙ| → l > 1 を満たす列 (λₙ) に対しては共通超巡回ベクトルが存在しない例が存在すること（参考文献 [24] で示された）を踏まえ、漸近的意味で最適である。
• 本稿では、n²、log n、e^{nᶜ}（0 < c < 1）、および e^{n / log n} を含む、|λₙ| → ∞ かつ |λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 を満たす4つの異なる列のクラスを構成している。
• 10の累乗による整数の一意表現に基づく新規な列のクラスを構成し、i(Λ) = 1 であるが inf ℬ(Λ) ∉ ℬ(Λ) であるような列を得た。これにより、条件の頑健性が示された。
• この結果により、|λₙ₊₁|/|λₙ| → 1 という条件が、すべてのゼロでない平行移動パラメータ a ∈ ℂ に対して共通超巡回ベクトルの存在にあたって、十分条件であるだけでなく、本質的に必要条件であることが確認された。