[논문 리뷰] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth Multiplicity Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 $L_2([t, T]^k)$에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 다섯 번째 차수의 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 새로운 전개를 제시한다. 이 방법은 한 번의 극한 전이만으로 평균 제곱수 수렴성을 달성하며, 이토 적분과 비교해 통합 과정이 단순화되고, 타일러-스트라토노비치 전개를 통한 이토 확률미분방정식의 효율적 수치적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity based on the method of generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ The mentioned expansion converges in the mean-square sense and contains only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. The expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals turned out much simpler than the appropriate expansion of iterated Ito stochastic integrals. We use the expansion of the latter as a tool of the proof of the expansion for iterated Stratonovich stochastic integrals. The iterated Stratonovich stochastic integrals are the part of the Taylor-Stratonovich expansion of solutions of Ito stochastic differential equations. That is why the results of the article can be applied to the numerical integrations of Ito stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 다섯 번째 차수의 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 계산적으로 효율적인 전개 방법을 개발하기 위해.
• 기존의 다중 극한 연산을 필요로 하는 방법들과는 달리, 단 한 번의 극한 전이만으로 평균 제곱수 수렴성을 보장하기 위해.
• 이토 적분과 비교해 스트라토노비치 적분의 더 단순한 구조를 활용하여 보다 실용적인 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 개선된 타일러-스트라토노비치 전개를 통해 이토 확률미분방정식의 수치적 통합을 지원하기 위해.
• Hilbert 공간 $L_2$에서 일반화된 푸리에 급수를 이용한 고차수 수치적 방법의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• $L_2([t, T]^k)$에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 다섯 번째 차수의 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 표현하기 위해.
• Hilbert 공간 $L_2([t, T]^k)$에서 노름 수렴을 통해 평균 제곱수 수렴성을 확립하기 위해.
• 스트라토노비치 전개를 증명하는 데 기초가 되는 반복 이토 확률적 적분의 전개를 적용하기 위해.
• 수렴성 기법과 정규직교 체계를 활용하여 계산 복잡도를 최소화하는 전개를 구성하기 위해.
• 방법이 오직 한 번의 극한 전이만 필요로 하여 수치적 안정성과 효율성을 향상시키기 위해.
• 스트라토노비치 적분의 구조를 활용하여 이토 적분의 전개보다 더 단순한 전개를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다섯 번째 차수의 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 $L_2([t, T]^k)$에서 일반화된 푸리에 급수를 어떻게 전개할 수 있는가?
• RQ2 제안된 전개의 평균 제곱수 수렴 성질은 어떠한가?
• RQ3 제안된 전개에서 극한 전이의 수는 기존 방법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 스트라토노비치 적분의 구조는 이토 적분의 전개보다 어떻게 단순화되는가?
• RQ5 유도된 전개는 이토 확률미분방정식의 수치적 해법에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 전개는 힐버트 공간 $L_2([t, T]^k)$ 내에서 평균 제곱수 수렴성을 확보한다.
• 이 방법은 기존 유사 방법들과는 달리 오직 한 번의 극한 전이만 필요로 하여 계산 과정이 크게 단순화된다.
• 반복 스트라토노비치 적분의 전개 방식은 이토 적분에 대응하는 전개보다 구조적으로 더 단순하다.
• 일반화된 다중 푸리에 급수의 사용은 다섯 번째 차수의 적분을 체계적이고 수치적으로 다룰 수 있는 표현을 가능하게 한다.
• 결과적으로 타일러-스트라토노비치 전개를 통한 이토 확률미분방정식의 고차수 수치적 통합을 위한 실용적인 도구를 제공한다.
• 이 방법은 스트라토노비치 미적분의 유리한 성질을 활용하여 효율적인 수치적 방법의 기초를 마련한다.