[논문 리뷰] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicity 3 Based on Generalized Multiple Fourier Series Converging in the Mean: General Case of Series Summation

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|2018. 01. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 39인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 삼중 반복 Stratonovich 확률적 적분에 대한 평균 제곱 근사 방법을 제시한다. 다중 푸리에 급수—특히 삼중 레지온드르 다항식 및 삼각 함수 푸리에 급수 전개 방식을 사용한다. 기존 이토 적분에 대한 접근을 직교 전개를 통해 스트라토노비치 적분으로 일반화함으로써, 평균 제곱 수렴성을 확보하고, 강한 수렴 기준 하에 이토 SDE의 효율적 수치 적분을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the development of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the mean. We adapt this method for iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicity 3 from the Taylor-Stratonovich expansion. The main result of the article has been derived with using the triple Fourier-Legendre series and triple trigonometric Fourier series for the general case of series summation. Some recent results on the expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 3 to 6 are given. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations in accordance with the strong criterion of convergence.

연구 동기 및 목표

• 3차 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 일반적인 평균 제곱 근사 방법을 개발하기 위해.
• 이전에 이토 적분에 사용된 일반화된 다중 푸리에 급수 접근법을 스트라토노비치 적분으로 확장하기 위해.
• 레지온드르 다항식 및 삼각 함수 푸리에 급수 전개에 대한 평균 제곱 수렴성을 확립하기 위해.
• 이토 확률미분방정식의 수치 적분을 위한 계산 효율적인 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이전의 3차에서 6차까지의 반복 적분 결과를 직교 전개를 통해 일반화하기 위해.

제안 방법

• 공간 $ L_2([t,T]) $ 내에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하며, 레지온드르 다항식 및 삼각 함수와 같은 완전 정규직교 체계를 활용한다.
• 반복 스트라토노비치 적분의 커널을 직교 함수의 급수로 표현함으로써 전개를 구성한다.
• 급수의 계수는 커널과 직교 기저 함수의 곱을 적분하여 유도된다.
• 직교 전개의 $ L_2 $ 성질을 이용하여 급수의 평균 제곱 수렴성을 증명한다.
• 임의의 완전 정규직교 체계에 대해 $ L_2([t,T]) $ 내에서 일반화되어, 기저 선택의 유연성을 제공한다.
• 기존 결과와의 비교 및 Wong–Zakai 근사 적용을 통한 방법의 검증

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 통해 평균 제곱 수렴 기준으로 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ2 이러한 적분에 대해 삼중 레지온드르 다항식 및 삼각 함수 푸리에 급수 전개의 수렴 성질은 무엇인가?
• RQ3 제안된 방법은 기존의 이토 적분 접근법을 어떻게 고차수 스트라토노비치 적분으로 일반화하는가?
• RQ4 SDE 수치 적분 맥락에서 제안된 전개 방식과 Wong–Zakai 근사 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 평균 제곱 수렴 보장이 보장된 3차에서 6차까지의 적분으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 3차 반복 스트라토노비치 적분의 삼중 푸리에–레지온드르 급수 전개는 진짜 적분 값으로 평균 제곱 수렴한다.
• 삼중 삼각 함수 푸리에 급수 전개 역시 평균 제곱 수렴성을 보이며, 근사에 대한 다른 기저를 제공한다.
• 이 방법은 정리 1을 $ L_2([t,T]) $ 내 임의의 완전 정규직교 체계로 일반화하여 적용 가능성을 향상시킨다.
• 고차수 스트라토노비치 적분의 정확한 근사를 제공함으로써, 강한 수렴 기준 하에서 이토 SDE의 효율적 수치 적분을 가능하게 한다.
• 결과는 Wong–Zakai 근사와 일치하여, 이론적 기반의 타당성을 검증한다.
• 이전의 낮은 차수의 경우에 비해, 3차에서 6차까지의 반복 스트라토노비치 적분에 대한 전개를 지원하는 프레임워크를 제공한다.