[论文解读] Exponential sum approximations and fast evaluation of fractional integrals

William McLean|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过指数和在紧区间上近似 $ t^{-\beta} $，利用一种替代积分表示法，与Beylkin和Monzon的方法相比，显著提升了Prony方法前的近似精度，随后使用Prony方法对项数进行压缩，仅造成极小的精度损失。

ABSTRACT

Given $\beta>0$ and $\delta>0$, the function $t^{-\beta}$ may be approximated for $t$ in a compact interval $[\delta,T]$ by a sum of terms of the form $we^{-at}$, with parameters $w>0$ and $a>0$. One such an approximation, studied by Beylkin and Monzon, is obtained by applying the trapezoidal rule to an integral representation of $t^{-\beta}$, after which Prony's method is applied to reduce the number of terms in the sum with essentially no loss of accuracy. We review this method, and then describe a similar approach based on an alternative integral representation. The main difference is that the new approach achieves much better results before the application of Prony's method; after applying Prony's method the performance of both is much the same.

研究动机与目标

• 通过指数和在 $[\delta, T]$ 上开发 $ t^{-\beta} $ 的更精确初始近似。
• 与基于梯形求积法的现有方法相比，提升Prony方法前的近似质量。
• 在应用Prony方法进行项数压缩后，仍保持高精度。
• 通过优化的指数和表示法，实现分数阶积分的高效且精确求值。

提出的方法

• 该方法使用 $ t^{-\beta} $ 的一种替代积分表示法，与Beylkin和Monzon的公式不同。
• 对这种新的积分表示法应用梯形法则，以生成初始的指数和近似。
• 随后使用Prony方法对求和中的项数进行压缩，同时保持精度。
• 所得指数和近似 $ t^{-\beta} $，其中 $ w>0 $，$ a>0 $，且误差最小。
• 从Prony方法前后的精度角度，将该方法与Beylkin和Monzon的方法进行比较。
• 该方法在应用Prony方法进行项数压缩前，实现了更优的初始近似质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对 $ t^{-\beta} $ 使用替代积分表示法，如何影响初始指数和近似的精度？
• RQ2 不同的积分公式是否能产生优于Beylkin和Monzon方法的Prony方法前近似质量？
• RQ3 在应用Prony方法进行项数压缩后，指数和近似性能的退化程度如何？
• RQ4 在应用Prony方法前后，新方法与现有方法的近似误差如何比较？
• RQ5 在基于指数和的分数阶积分求值中，初始近似质量与计算效率之间存在何种权衡？

主要发现

• 在应用Prony方法之前，新方法的近似精度显著优于Beylkin和Monzon的方法。
• 在应用Prony方法后，两种方法的精度表现相当，表明项数压缩步骤的效果是等效的。
• 替代积分表示法导致更精确的初始指数和，从而在压缩前降低了误差。
• 该方法在项数减少的同时保持了高精度，从而实现了分数阶积分的高效求值。
• Prony方法前性能的提升表明，积分表示法的选择对初始近似质量至关重要。
• 该方法为基于指数和近似的分数阶积分快速且精确求值提供了实用框架。