[論文レビュー] Fast Approximations for Metric-TSP via Linear Programming

Chandra Chekuri, Kent Quanrud|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文では、2マッチングのLP緩和の解をカットスパース化技術を用いてスパース化することで、メトリックTSPのより高速な近似アルゴリズムを提示する。$(1+\epsilon)$-近似TSP巡回路を$\tilde{O}(m/\epsilon^2 + n^{1.5}/\epsilon^3)$時間で得られ、明示的メトリックでは従来の$\tilde{O}(n^{2.5})$の境界、暗黙的メトリックでは$\tilde{O}(\min\{m^{1.5}, mn + n^{2.5}\})$の境界よりも顕著に改善される。

ABSTRACT

We develop faster approximation algorithms for Metric-TSP building on recent, nearly linear time approximation schemes for the LP relaxation [Chekuri and Quanrud, 2017]. We show that the LP solution can be sparsified via cut-sparsification techniques such as those of Benczur and Karger [2015]. Given a weighted graph $G$ with $m$ edges and $n$ vertices, and $ε> 0$, our randomized algorithm outputs with high probability a $(1+ε)$-approximate solution to the LP relaxation whose support has $\operatorname{O}(n \log n /ε^2)$ edges. The running time of the algorithm is $\operatorname{Õ}(m/ε^2)$. This can be generically used to speed up algorithms that rely on the LP. For Metric-TSP, we obtain the following concrete result. For a weighted graph $G$ with $m$ edges and $n$ vertices, and $ε> 0$, we describe an algorithm that outputs with high probability a tour of $G$ with cost at most $(1 + ε) \frac{3}{2}$ times the minimum cost tour of $G$ in time $\operatorname{Õ}(m/ε^2 + n^{1.5}/ε^3)$. Previous implementations of Christofides' algorithm [Christofides, 1976] require, for a $\frac{3}{2}$-optimal tour, $\operatorname{Õ}(n^{2.5})$ time when the metric is explicitly given, or $\operatorname{Õ}(\min\{m^{1.5}, mn+n^{2.5}\})$ time when the metric is given implicitly as the shortest path metric of a weighted graph.

研究の動機と目的

• スパarsなグラフにおける辺数$m$と頂点数$n$に対してスケーリング効率の良い、より高速なメトリックTSP近似アルゴリズムの開発。
• 明示的メトリックにおける最小コスト完全マッチングに要する$\tilde{O}(n^{2.5})$の計算ボトルネックを解消すること。
• メトリックTSPのLP緩和に対するほぼ線形時間の近似スキームを活用し、全体の実行時間を短縮すること。
• 特にスパースグラフの最短経路メトリックとして与えられるメトリックにおいても、$(1+\epsilon)$-近似TSP巡回路を効率的に計算できることを実現すること。

提案手法

• Benczur-Kargerなどのカットスパース化技術を用い、2マッチングLP緩和の解のサポートサイズを$O(n \log n / \epsilon^2)$本の辺にまで削減する。
• ChekuriとQuanrud（2017a）のほぼ線形時間近似スキームを用い、2マッチングLPの$(1+\epsilon)$-近似解を$\tilde{O}(m / \epsilon^2)$時間で計算する。
• スパース化により、サポートが小さく、最適LP値の$(1+\epsilon)^2$以内の目的値を持つ新たな実行可能解$y$を取得する。
• スパース化されたグラフに対して$(1+1/n)$-近似$T$-ジョインアルゴリズムを適用し、$\tilde{O}(n^{1.5}/\epsilon^3)$時間で最小コスト$T$-ジョインを求める。
• 最小全域木と$T$-ジョインを組み合わせることで最終的なTSP巡回路を構築し、総コストが最適TSPコストの$(1+\epsilon)\cdot \frac{3}{2}$倍以下であることを保証する。
• すべてのステップを統合し、合計実行時間を$\tilde{O}(m/\epsilon^2 + n^{1.5}/\epsilon^3)$とするアルゴリズムを構成し、TSPに対して$(1+\epsilon)$-近似を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリックTSPのLP緩和は、近似品質を保ちつつ非ゼロ要素の数を削減できるか？
• RQ2 高速なLP近似とスパース化を活用することで、Christofidesのアルゴリズムにおける$\tilde{O}(n^{2.5})$のボトルネックを克服できるか？
• RQ3 スパースグラフにおいて、$n$に関して時間的に準二次未満で$(1+\epsilon)$-近似TSP巡回路を達成できるか？
• RQ4 カットスパース化技術は2マッチングLP緩和に効果的に適用可能か？
• RQ5 スパース化されたLP解は、低コストで効率的な$T$-ジョイン計算が可能な十分な構造的性質を保持しているか？

主な発見

• サポートサイズ$O(n \log n / \epsilon^2)$の$(1+\epsilon)$-近似解が、$\tilde{O}(m / \epsilon^2)$時間で得られる。
• 最終的なTSP巡回路のコストは、最適TSP巡回路コストの$(1+\epsilon) \cdot \frac{3}{2}$倍以下である。
• 合計実行時間は$\tilde{O}(m / \epsilon^2 + n^{1.5} / \epsilon^3)$であり、明示的メトリックでは従来の$\tilde{O}(n^{2.5})$の境界を上回る。
• 暗黙的メトリック（スパースグラフの最短経路メトリック）では、新しい手法により$\tilde{O}(\min\{m^{1.5}, mn + n^{2.5}\})$の実行時間が達成され、従来の境界を改善する。
• スパース化ステップにより、$T$-ジョイン計算が効率的になる。サポートサイズが$O(n \log n / \epsilon^2)$にまで削減され、高速な$T$-ジョインアルゴリズムが可能になる。
• $m$に対してほぼ線形の依存、$n$に対して準二次未満の依存を達成しており、大規模なスパースグラフにおいてスケーラブルである。