[论文解读] Fault Tolerant Clustering Revisited

Nirman Kumar, Benjamin Raichel|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种简单且实用的容错 $k$-中心和 $k$-中位数聚类算法，通过将非容错的 $m$-中心或 $m$-中位数解作为子程序，其中 $m = \lfloor k/\ell \rfloor$。该方法在使用已知近似算法作为预言机的前提下，对容错 $k$-中心聚类实现了 $4$-近似，对容错 $k$-中位数聚类实现了 $12$-近似，建立了一个从容错聚类到标准聚类问题的清晰归约。

ABSTRACT

In discrete k-center and k-median clustering, we are given a set of points P in a metric space M, and the task is to output a set C \subseteq ? P, |C| = k, such that the cost of clustering P using C is as small as possible. For k-center, the cost is the furthest a point has to travel to its nearest center, whereas for k-median, the cost is the sum of all point to nearest center distances. In the fault-tolerant versions of these problems, we are given an additional parameter 1 ?\leq \ell \leq ? k, such that when computing the cost of clustering, points are assigned to their \ell-th nearest-neighbor in C, instead of their nearest neighbor. We provide constant factor approximation algorithms for these problems that are both conceptually simple and highly practical from an implementation stand-point.

研究动机与目标

• 解决容错聚类问题，即每个点必须被分配到其第 $\ell$ 个最近的中心，以确保对设施故障的鲁棒性。
• 设计一种概念上简单且可实现的算法，对容错 $k$-中心和 $k$-中位数聚类均实现常数因子近似。
• 通过证明 $m = \lfloor k/\ell \rfloor$ 个中心的 $c$-近似解可导出容错 $k$-中心聚类的 $ (1+2c) $-近似，建立容错聚类与标准（非容错）聚类之间的理论联系。
• 探讨本文定义的容错 $k$-中位数问题是否可归约为非容错聚类，从而实现更简单的算法设计。

提出的方法

• 将非容错 $m$-中心或 $m$-中位数聚类的 $c$-近似算法（其中 $m = \lfloor k/\ell \rfloor$）作为子程序使用。
• 对于 $m$-中心解中的每个中心，将其在 $\mathsf{P}$ 中的 $\ell$ 个最近邻加入，以形成最终的 $k$ 个中心，从而为每个中心提供 $\ell$ 个备份点。
• 通过三角不等式和覆盖论证，证明所得 $k$-中心解可实现 $ (1+2c) $-近似，方法是控制第 $\ell$ 个最近邻的距离。
• 对于 $k$-中位数变体，应用相同的后处理技术，并使用 Li 和 Svensson 的 $ (1+\sqrt{3}+\varepsilon) $-近似算法作为子程序，推导出 $ (5+4\sqrt{3}+\varepsilon) \approx 12 $-近似。
• 基于覆盖半径和中心接近度的矛盾论证，证明近似界，表明若算法代价超过界限，则需过多中心才能在最优半径内覆盖所有点，从而违反 $k$-中心约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $m = \lfloor k/\ell \rfloor$ 个中心的非容错聚类解，构造出容错 $k$-中心聚类的常数因子近似？
• RQ2 该基于归约的方法在容错 $k$-中心聚类中能达到的最紧近似比是多少？是否可改进至与已知的 $2$-近似匹配？
• RQ3 容错 $k$-中位数问题（其中代价为第 $\ell$ 个最近邻距离）是否可归约为具有更少中心的非容错聚类问题？
• RQ4 能否通过使用更简单或更模块化的子程序，实现容错 $k$-中位数聚类的更好近似因子？

主要发现

• 当使用 Gonzalez 的 $2$-近似算法作为 $m = \lfloor k/\ell \rfloor$ 个中心的子程序时，该算法对容错 $k$-中心聚类实现了 $4$-近似。
• 当 $\ell$ 整除 $k$ 时，该算法实现 $3$-近似，优于一般情况下的 $4$-近似。
• 当使用 Li 和 Svensson 的 $ (1+\sqrt{3}+\varepsilon) $-近似算法作为子程序时，对容错 $k$-中位数聚类可实现 $ (5+4\sqrt{3}+\varepsilon) \approx 12 $-近似。
• 该方法证明了 $m$-中心聚类的 $c$-近似解可导出容错 $k$-中心聚类的 $ (1+2c) $-近似，从而建立了一个通用的归约框架。
• 证明依赖于矛盾论证：若算法代价超过 $3r_{\text{opt}}$ 或 $4r_{\text{opt}}$，则需过多中心才能在最优半径内覆盖所有点，从而违反 $k$-中心约束。