[論文レビュー] Fibonacci numbers modulo cubes of primes

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p^3$および$p^2$を法とする形の和$ \sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$について、新しい合同式を確立し、ルーカス数列とリーマン記号を関連付ける。これらの和は、リーマン記号$\left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right)$とルーカス商を含む式に合同であることが証明され、素数のべきを法とするフィボナッチ数に関する既存の結果を拡張し、フェルマーの最終定理や$p$進的文脈におけるカタラン数の研究に新たな道具を提供する。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. It is well known that $F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod{p}$, where $\{F_n\}_{n\ge0}$ is the Fibonacci sequence and $(-)$ is the Jacobi symbol. In this paper we show that if $p ot=5$ then we may determine $F_{p-(\frac p5)}$ mod $p^3$ in the following way: $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{(-16)^k}\equiv\left(\frac{p}5 ight)\left(1+\frac{F_{p-(\frac {p}5)}}2 ight)\pmod{p^3}.$$ We also use Lucas quotients to determine $\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}k/m^k$ modulo $p^2$ for any integer $m ot\equiv0\pmod{p}$; in particular, we obtain $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{16^k}\equiv\left(\frac3{p} ight)\pmod{p^2}.$$ In addition, we pose three conjectures for further research.

研究の動機と目的

• 中心二項係数の重み付き和が$p^3$および$p^2$を法として明示的な合同式にどのように表現できるかを導出すること。
• これらの和をルーカス数列およびフィボナッチに類似した再帰的構造に関連付けること。
• 既知のフィボナッチ商およびウォール＝サン＝サン素数に関する結果を、より高い素数のべきを法として一般化すること。
• カタラン数および中心二項係数に関連する組合せ的和の$p$進的挙動を研究するための新たな代数的道具を提供すること。

提案手法

• 二項係数の性質とルーカスの定理を用いて、$\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k}$の主な合同式を$p^3$を法として導出する。
• ルーカスの定理を応用し、$p$および$p^2$を法とする和を、$p$進展開における二項係数の還元を分析することで簡約する。
• 特に$u_n(4,m)$を用いることで、ルーカス数列$u_n(A,B)$および$v_n(A,B)$の理論を活用し、和を代数的数論的関数の形で表現する。
• リーマン記号とヤコビ記号を用いて、二次合同の性質を符号の制御に統合する。
• カタラン数$C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$およびその母関数に関する既知の恒等式を応用し、$\binom{2k}{k}/m^k$の和を$C_k/m^k$の和に関連付ける。
• オイラーの定理および$p$進昇降技術を用いて、$m^{p^a - 1} \equiv m^{p-1} \pmod{p^2}$を簡約し、指数項の単純化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数$p$および正の整数$a$に対して、和$\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$は$p^3$を法としてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 このような和とルーカス数列$u_n(4,m)$との関係は、$p$進的合同式の文脈でどのように理解されるか？
• RQ3 これらの和を用いて、フィボナッチに類似した商の$p$進的付値を、より高い素数のべきを法として拡張できるか？
• RQ4 リーマン記号$\left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right)$および$\left(\frac{-m}{p}\right)$は、これらの合同式の構造をどのように制御するか？
• RQ5 カタラン数は、中心二項係数の和が$p^2$を法として合同になるように refine する役割を果たすか？

主な発見

• 奇素数$p \neq 5$に対して、和$\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \equiv \left(\frac{p^a}{5}\right)\left(1 + \frac{F_{p^a - (\frac{p^a}{5})}}{2}\right) \pmod{p^3}$が成り立ち、$p^3$を法とするフィボナッチ数と中心二項係数の和を結びつける。
• $m = 8$ の場合、和$\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{8^k} \equiv \left(\frac{2}{p^a}\right) \pmod{p^2}$が成り立ち、二次相互法則と明確に結びついた簡潔な合同式を示す。
• $m = 16$ の場合、和$\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{16^k} \equiv \left(\frac{3}{p^a}\right) \pmod{p^2}$が成り立ち、リーマン記号$\left(\frac{3}{p^a}\right)$と直接的な関係を示す。
• 和$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k}{16^k} \equiv \frac{4-m}{2} \sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} + \frac{m}{2} - 2p\delta_{a,1}\left(\frac{-m}{p}\right) \pmod{p^2}$は、カタラン数と中心二項係数の和の間の変換を提供する。
• $p > 3$ の場合、和$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{(2k-1)^2 16^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)\frac{3(\frac{p}{3})+1}{4} \pmod{p^2}$が成り立ち、$p \mod 12$ に応じた明示的な値を示し、アダムチュークの予想を確認する。
• 本稿は、$\sum_{k=0}^{(p^a-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \left(\frac{m(m-4)}{p^a}\right) + \left(\frac{-m}{p}\right)\left(\frac{m(m-4)}{p^{a-1}}\right)\bar{m}u_{p-(\frac{4-m}{p})}(4,m) \pmod{p^2}$を証明し、組合せ的和とルーカス数列の間の深い関係を確立する。