[论文解读] Fixed-Parameter and Approximation Algorithms: A New Look

Rajesh Chitnis, MohammadTaghi Hajiaghayi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文建立了对 Clique 和 Set Cover 等基础 W[1]- 和 W[2]- 难问题的首个条件性下界，针对 FPT 近似算法，表明在 ETH 和 PGC 假设下，不存在比 $k^{F_1}$ 更好的 Set Cover FPT 近似，或比 $k^{1-\nabla}$ 更好的 Clique FPT 近似。此外，本文还为若干 W[1]- 难问题提出了多项式时间 $f(\text{OPT})$- 近似算法，包括对 Strongly Connected Steiner Subgraph 的常数因子 FPT 近似，解决了 Marx 提出的一个开放问题。

ABSTRACT

A Fixed-Parameter Tractable (\FPT) $ρ$-approximation algorithm for a minimization (resp. maximization) parameterized problem $P$ is an FPT algorithm that, given an instance $(x, k)\in P$ computes a solution of cost at most $k \cdot ρ(k)$ (resp. $k/ρ(k)$) if a solution of cost at most (resp. at least) $k$ exists; otherwise the output can be arbitrary. For well-known intractable problems such as the W[1]-hard {Clique} and W[2]-hard {Set Cover} problems, the natural question is whether we can get any \FPT-approximation. It is widely believed that both {Clique} and {Set-Cover} admit no FPT $ρ$-approximation algorithm, for any increasing function $ρ$. Assuming standard conjectures such as the Exponential Time Hypothesis (ETH) \cite{eth-paturi} and the Projection Games Conjecture (PGC) \cite{r3}, we make the first progress towards proving this conjecture by showing that 1. Under the ETH and PGC, there exist constants $F_1, F_2 >0$ such that the {Set Cover} problem does not admit an FPT approximation algorithm with ratio $k^{F_1}$ in $2^{k^{F_2}}\cdot ext{poly}(N,M)$ time, where $N$ is the size of the universe and $M$ is the number of sets. 2. Unless $\NP\subseteq \SUBEXP$, for every $1> δ> 0$ there exists a constant $F(δ)>0$ such that {Clique} has no FPT cost approximation with ratio $k^{1-δ}$ in $2^{k^{F}}\cdot ext{poly}(n)$ time, where $n$ is the number of vertices in the graph. In the second part of the paper we consider various W[1]-hard problems such as {\dst}, {\dsf}, Directed Steiner Network and {\mec}. For all these problem we give polynomial time $f( ext{OPT})$-approximation algorithms for some small function $f$ (the largest approximation ratio we give is $ ext{OPT}^2$).

研究动机与目标

• 研究如 Clique 和 Set Cover 等难以问题是否存在 FPT 近似算法，这些问题是人们普遍认为不存在此类算法的。
• 在标准假设如 ETH 和 PGC 下，为 Set Cover 和 Clique 的 FPT 近似建立条件性下界。
• 为如 Directed Steiner Tree、Edge Cover 和 SCSS 等 W[1]- 难问题设计多项式时间 $f(\text{OPT})$- 近似算法。
• 解决 Marx 提出的关于 Strongly Connected Steiner Subgraph 是否存在常数因子 FPT 近似的问题。

提出的方法

• 利用指数时间假设（ETH）和投影游戏猜想（PGC），推导出 Set Cover 和 Clique 的 FPT 近似条件性下界。
• 通过从 Multicolored Clique 进行参数化归约，证明 Minimum Size Edge Cover 的 W[1]- 难度。
• 应用 Directed Steiner Tree 的 FPT 算法，通过求解两个有向树实例，构造 Strongly Connected Steiner Subgraph 的 2- 近似。
• 通过选择 $k$ 条边并以 $\text{OPT}$ 表达解的大小，构造 Minimum Size Edge Cover 的多项式时间 $(\text{OPT}-1)$- 近似。
• 利用已知的 Directed Steiner Tree 的 FPT 算法，构建 SCSS 的常数因子 FPT 近似。
• 利用 FPT 近似比为 $\rho$ 意味着存在多项式时间 $\rho'(\text{OPT})$- 近似这一事实，建立 FPT 近似与多项式时间近似可比性之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ETH 和 PGC 假设下，Set Cover 是否存在比 $k^{F_1}$ 更好的 FPT 近似？
• RQ2 在 NP 不属于 SUBEXP 的假设下，Clique 是否存在比 $k^{1-\delta}$ 更好的 FPT 近似？
• RQ3 W[1]- 难问题如 Minimum Size Edge Cover 或 Directed Steiner Tree 是否能在多项式时间内以 $f(\text{OPT})$ 的比值进行近似，其中 $f$ 为某函数？
• RQ4 Strongly Connected Steiner Subgraph 是否存在常数因子 FPT 近似，从而解决 Marx 的开放问题？
• RQ5 是否存在一个 W[2]- 难问题，其既能实现多项式时间 $f(\text{OPT})$- 近似，也能实现比值为 $\rho$ 的 FPT 近似？

主要发现

• 在 ETH 和 PGC 假设下，Set Cover 在 $2^{k^{F_2}}\cdot\text{poly}(N,M)$ 时间内不存在比 $k^{F_1}$ 更好的 FPT 近似，其中 $F_1,F_2>0$ 为常数。
• 在 NP 不属于 SUBEXP 的假设下，Clique 在 $2^{k^F}\cdot\text{poly}(n)$ 时间内不存在比 $k^{1-\delta}$ 更好的 FPT 近似，其中 $\delta>0$。
• Minimum Size Edge Cover 存在多项式时间 $(\text{OPT}-1)$- 近似，且在以解大小为参数时为 W[1]- 难。
• Strongly Connected Steiner Subgraph 存在常数因子 FPT 近似，解决了 Marx 提出的开放问题。
• 本文首次为若干 W[1]- 难问题（包括 Directed Steiner Tree 和 Edge Cover）提供了多项式时间 $f(\text{OPT})$- 近似，其中最大近似比为 $\text{OPT}^2$。
• 结果表明 W[1] 与 W[2] 之间可能存在分离，因为目前尚无已知的 W[2]- 难问题能实现多项式时间 $f(\text{OPT})$- 近似。