[論文レビュー] FPT-algorithms for computing Gromov-Hausdorff and interleaving distances between trees

Elena Farahbakhsh Touli, Yusu Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、メトリックツリー間のGromov-Hausdorff距離を乗法的要因14の範囲内で近似する最初の固定パラメータ動的計画法（FPT）アルゴリズムを提示する。著者らは、Gromov-Hausdorff距離とマージツリーのインターリーブ距離の間の新しい接続を確立することで、動的計画法が可能な形にインターリーブ距離を再定義し、その結果、インターリーブ距離に対する正確なFPTアルゴリズムを導出し、それがGromov-Hausdorff距離に対するFPT近似をもたらす。

ABSTRACT

Gromov-Hausdorff (GH) distance is a natural way to measure the distortion between two metric spaces. However, there has been only limited algorithmic development to compute or approximate this distance. We focus on computing the Gromov-Hausdorff distance between two metric trees. Roughly speaking, a metric tree is a metric space that can be realized by the shortest path metric on a tree. Previously, Agarwal et al. showed that even for trees with unit edge length, it is NP hard to approximate the GH distance between them within a factor of 3. In this paper, we present a fixed-parameter tractable (FPT) algorithm that can approximate the GH distance between two general metric trees within a factor of 14. Interestingly, the development of our algorithm is made possible by a connection between the GH distance for metric trees and the interleaving distance for the so-called merge trees. The merge trees arise in practice naturally as a simple yet meaningful topological summary, and are of independent interest. It turns out that an exact or approximation algorithm for the interleaving distance leads to an approximation algorithm for the Gromov-Hausdorff distance. One of the key contributions of our work is that we re-define the interleaving distance in a way that makes it easier to develop dynamic programming approaches to compute it. We then present a FPT algorithm to compute the interleaving distance between two merge trees exactly, which ultimately leads to an FPT-algorithm to approximate the GH distance between two metric trees. This exact FPT-algorithm to compute the interleaving distance between merge trees is of interest itself, as it is known that it is NP-hard to approximate it within a factor of 3, and previously the best known algorithm has an approximation factor of $O(\sqrt{n})$ even for trees with unit edge length.

研究の動機と目的

• メトリック空間間の自然なが、計算的に困難な距離測度であるメトリックツリー間のGromov-Hausdorff距離を効率的に計算または近似するアルゴリズムの開発。
• 単位辺ツリーに対しても3の要因内で近似することがNP困難であることを踏まえ、固定パラメータ動的計画法を活用して解決。
• メトリックツリー間のGromov-Hausdorff距離とマージツリーのインターリーブ距離の間の関係を確立し、両者の間でアルゴリズムを移転可能にする。
• 動的計画法に適した再定義されたインターリーブ距離の定式化を設計し、計算を単純化し、正確なFPTアルゴリズムを可能にする。

提案手法

• 2つの写像のペアではなく、マージツリー間の単一の写像を用いてインターリーブ距離を再定義し、アルゴリズム設計を単純化。
• 時間計算量を制御するパrameterized次数バウンドτを用いて、マージツリー上で動的計画法を適用。
• 最小のインターリーブ距離を効率的に特定するため、候補となるδ値とτ値の二重二分探索手順を導入。
• 関連するマージツリーにおけるGromov-Hausdorff距離とインターリーブ距離の等価性を活用し、アルゴリズムの結果を移転。
• すべてのマージツリーの根のペアから得られるO(n⁴)の臨界δ値をソートし、δの二分探索をガイド。
• τδとτ₂δを含む不等式の連鎖を用いて最終的なパrameter τ′をバウンドし、時間計算量がパrameter τに関してFPTのまま保たれることを保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定パラメータ動的計画法を用いて、メトリックツリー間のGromov-Hausdorff距離を定数乗法的要因内で近似できるか。
• RQ2 Gromov-Hausdorff距離とマージツリーのインターリーブ距離の間に意味的な接続があり、アルゴリズムの移転を可能にするか。
• RQ3 動的計画法を支援する形にインターリーブ距離を再定義できるか、そして正確なFPT計算を可能にするか。
• RQ4 新しいインターリーブ距離の定式化は、近似がNP困難であるにもかかわらず、時間計算量がパrameter τに関してFPTであるか。
• RQ5 インターリーブ距離に対するFPTアルゴリズムを用いて、有界な近似要因を持つGromov-Hausdorff距離のためのFPT近似アルゴリズムを導出できるか。

主な発見

• 本稿では、2つのメトリックツリー間のGromov-Hausdorff距離を乗法的要因14の範囲内で近似するFPTアルゴリズムを提示する。
• このアルゴリズムは、動的計画法が可能な形に再定義されたインターリーブ距離に基づくものであり、マージツリー間のインターリーブ距離を正確に計算するFPTアルゴリズムを導く。
• アルゴリズムの時間計算量はO(n² 2^τ̂ τ̂^{τ̂+2} log³n)であり、ここでτ̂ = 2τ̂₂₈δ*であり、τ̂₂₈δ*は最適インターリーブ距離から導かれるパラメータである。
• 著者らは、2つのマージツリーT₁^{fu}とT₂^{gw}間のインターリーブ距離が14δ*でバウンドされることを証明している。ここでδ*は最適Gromov-Hausdorff距離である。
• O(n²)のすべての根ペアに対するブルートフォース計算を避けるために、臨界δ値とτ値の二重二分探索を用いることで、探索空間を顕著に削減。
• 本研究は、トポロジカルデータ解析における2つの重要な距離—Gromov-Hausdorff距離とインターリーブ距離—の間の理論的ブリッジを確立し、新たなアルゴリズム的発展を可能にする。