[論文レビュー] Gaussian transform of the Weil representation

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、シュワーツ空間および緩やかな分布におけるシンプレクティック群のワイエル表現のガウス積分変換による像を特徴づけている。変換が $ S(\mathbb{R}^n) $ および $ S'(\mathbb{R}^n) $ 上のワイエル表現をシーゲル上半平面上のラインバンドルの正則切断へ写像することを示し、特定の変換則を満たす解析関数として表現を明示的に実現する。

ABSTRACT

A description is given of the image of the Weil representation of the symplectic group in the Schwartz space and in the space of tempered distributions under the Gaussian integral transform. We also discuss the problem of infinite dimensional generalization of the Weil representation in the Schwartz space, in order to construct appropriate quantization of free scalar field.

研究の動機と目的

• 無限次元空間上の分布関数型を用いた自由スカラー場の量子化のための数学的枠組みを提供すること。
• 有限次元のワイエル表現を無限次元に一般化し、特に時空的表面の量子化の文脈で考察すること。
• 無限次元シンプレクティック群の作用を支持し、ガウス関数型を含む適切な関数型の空間（シュワーツ空間に類似）を同定すること。
• ガウス関数型およびベクトル 1 がメタプレクティック群の表現論における果たす役割を理解すること。
• 分布関数型およびガウス変換を用いて、相対論的に不変な場の理論のためのフォック型空間を構成する可能性を検討すること。

提案手法

• シュワーツ空間 $ S(\mathbb{R}^n) $ の関数にガウス積分変換を適用し、$ \psi(x) $ を $ u(Z) = \int \overline{\psi(x)} e^{i/2 \sum Z_{jk} x_j x_k} dx $ に写像する。
• シンプレクティック群 $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $ 及びそのメタプレクティック被覆 $ \mathrm{Mp}(2n,\mathbb{R}) $ のワイエル表現理論を用い、$ S(\mathbb{R}^n) $ および $ S'(\mathbb{R}^n) $ 上の作用に焦点を当てる。
• 変換の像を、シーゲル上半平面 $ \mathcal{SG} $ 上のラインバンドルの正則切断として特徴づけ、特定の微分方程式を満たすことを示す。
• メタプレクティック群の作用を用いて、変換後の空間と $ \mathcal{SG} $ 上の正則関数空間との同型を確立する。
• シーゲル上半平面の閉包内の $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $-軌道上での $ C^\infty $-収束を用いて、変換後の空間の位相を分析する。
• 核空間 $ V $、空間 $ V \oplus V^* $、およびフレドホルム行列式を用いて、シンプレクティック群の中心拡大を定義することで、無限次元への一般化を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス積分変換による $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $ のワイエル表現の像は、シュワーツ空間 $ S(\mathbb{R}^n) $ および緩やかな分布 $ S'(\mathbb{R}^n) $ においてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 ガウス変換を用いて、場の量子化に適した自然な無限次元ワイエル表現の類似を構成できるか？
• RQ3 シュワーツ空間の位相はガウス積分変換によってどのように変化するか？また、シーゲル上半平面内の $ C^\infty $-収束の軌道上での関係は何か？
• RQ4 $ S $ と $ S' $ 間の $ L^2 $-ノルムまたは内積に対して、ガウス変換下で一意な不変式が存在するか？
• RQ5 ゲルファンド＝シロフ関数の空間 $ S_{1/2}^{1/2}(\mathbb{R}^n) $ は、メタプレクティック作用の下で $ L^2 $ 内の解析的ベクトルの空間に対応するか？

主な発見

• ガウス変換は、$ S(\mathbb{R}^n) $ 上のワイエル表現を、シーゲル上半平面 $ \mathcal{SG} $ 上のラインバンドル $ \mu^* $ の正則切断の空間へ写像する。この空間は特定の微分方程式を満たす。
• $ S'(\mathbb{R}^n) $ のガウス変換による像は、$ W \otimes \mu^* $ というバンドルの正則切断の空間と同型である。ここで $ W $ は重みバンドルである。
• 変換はメタプレクティック群 $ \mathrm{Mp}(2n,\mathbb{R}) $ の作用を保ち、結果として得られる空間はこの群のユニタリ表現を担う。
• $ S(\mathbb{R}^n) $ の位相は、正則切断上の $ C^\infty $-位相へと移り、収束は $ \mathcal{SG} $ の閉包内の $ \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}) $-軌道上で一様収束を意味する。
• $ S'(\mathbb{R}^n) $ 内のベクトル 1 は、シーゲル上半平面で定数となる正則切断に対応し、表現において特記すべき役割を果たす。
• この構成の無限次元一般化は、相対論的に不変なシュレーディンガー方程式 (1) の解を得ない。これは、クライン＝ゴルドン方程式の進化作用素が無限次元シンプレクティック群に属しないからである。