[논문 리뷰] Generalised probabilistic theories and conic extensions of polytopes

Samuel Fiorini, Serge Massar외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 15.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 44인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 확률 이론(GPTs)과 다각형의 원뿔 확장 사이의 깊은 연결 고리를 확립하며, 정점이 다항식적으로 식별 가능한 0/1 다각형에 대해 완전히 양의 원뿔 기반 GPT의 통신 복잡도가 고전적 통신 복잡도보다 지수적으로 작아짐을 보여준다. 이는 이러한 다각형이 작은 원뿔 확장을 갖는다는 것을 증명하며, 고전적 복잡도와 GPT 기반 복잡도 사이에 지수적 격차를 유도하고, 양자 기초 이론과 조합 최적화 문제를 연결하는 새로운 기하학적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Generalized probabilistic theories (GPT) provide a general framework that includes classical and quantum theories. It is described by a cone $C$ and its dual $C^*$. We show that whether some one-way communication complexity problems can be solved within a GPT is equivalent to the recently introduced cone factorisation of the corresponding communication matrix $M$. We also prove an analogue of Holevo's theorem: when the cone $C$ is contained in $\mathbb{R}^{n}$, the classical capacity of the channel realised by sending GPT states and measuring them is bounded by $\log n$. Polytopes and optimising functions over polytopes arise in many areas of discrete mathematics. A conic extension of a polytope is the intersection of a cone $C$ with an affine subspace whose projection onto the original space yields the desired polytope. Extensions of polytopes can sometimes be much simpler geometric objects than the polytope itself. The existence of a conic extension of a polytope is equivalent to that of a cone factorisation of the slack matrix of the polytope, on the same cone. We show that all $0/1$ polytopes whose vertices can be recognized by a polynomial size circuit, which includes as a special case the travelling salesman polytope and many other polytopes from combinatorial optimisation, have small conic extension complexity when the cone is the completely positive cone. Using recent exponential lower bounds on the linear extension complexity of polytopes, this provides an exponential gap between the communication complexity of GPT based on the completely positive cone and classical communication complexity, and a conjectured exponential gap with quantum communication complexity. Our work thus relates the communication complexity of generalisations of quantum theory to questions of mainstream interest in the area of combinatorial optimisation.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 확률 이론(GPTs)의 통신 복잡도와 해당 통신 행렬의 원뿔 분해 사이의 대응 관계 수립.
• 특히 TSP 다각형과 같은 조합 최적화 문제에서 발생하는 0/1 다각형의 확장 복잡도 조사.
• 다항식적으로 정의 가능한 0/1 다각형이 완전히 양의 원뿔 위에서 작은 원뿔 확장을 갖는다는 것을 입증.
• 원뿔이 완전히 양의 원뿔일 경우, 고전적 통신 복잡도와 GPT 기반 통신 복잡도 사이에 지수적 격차가 존재한다는 것을 드러내기.
• 원뿔 확장과 통신 복잡도를 통해 양자 기초 이론의 근본적 질문들을 조합 최적화의 핵심 문제와 연결하기.

제안 방법

• 논문은 통신 행렬의 원뿔 분해를 사용하여, 주어진 일방 통신 복잡도 문제를 GPT가 해결할 수 있는지 여부를 특성화한다.
• 원뿔 C와 애핀 부분공간의 교차로서 다각형의 원뿔 확장을 정의하며, 이들의 사영이 원래 다각형이 되도록 한다.
• 다각형의 원뿔 확장 존재성과 동일한 원뿔 위에서 그 슬랙 행렬의 원뿔 분해 존재성 간의 등가성을 증명한다.
• 0/1 다각형의 회로 기반 표현을 적용하여, 정점이 다항식 크기의 회로로 식별 가능한 모든 다각형이 완전히 양의 원뿔 위에서 작은 원뿔 확장을 갖는다는 것을 보여준다.
• 기존의 선형 확장 복잡도에 대한 지수적 하한을 활용하여, 원뿔이 완전히 양의 원뿔일 경우 고전적 통신 복잡도와 GPT 기반 통신 복잡도 사이에 지수적 격차를 확립한다.
• 관측 다각형 COR(n)을 보편적 업그레이드 공간으로 사용하여, 유효한 초평면을 구성함으로써 다항식적으로 정의 가능한 모든 0/1 다각형을 COR(n)의 면의 사영으로 포함시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GPT의 통신 복잡도는 해당 통신 행렬의 원뿔 분해 존재성에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 정점이 다항식 크기의 회로로 식별 가능한 0/1 다각형의 원뿔 확장 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 완전히 양의 원뿔은 TSP 다각형과 같은 핵심 조합 최적화 다각형에 대해 지수적으로 작은 원뿔 확장을 가능하게 하는가?
• RQ4 고전적 통신과 완전히 양의 원뿔 기반 GPT 간의 통신 복잡도 격차는 무엇인가?
• RQ5 다각형의 원뿔 확장은 일반화된 확률 이론의 기초적 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• GPT의 통신 복잡도는 해당 통신 행렬 M의 원뿔 분해 존재성과 동치이다.
• 원뿔 C가 R^n에 포함되어 있을 경우, GPT 상태를 전송하고 측정함으로써 실현되는 채널의 고전적 용량은 log n로 유계가 되며, 이는 홀로보 정리의 일반화된 형태를 제공한다.
• 정점이 다항식 크기의 회로로 식별 가능한 모든 0/1 다각형은 완전히 양의 원뿔 위에서 작은 원뿔 확장 복잡도를 갖는다.
• 이로 인해 원뿔이 완전히 양의 원뿔일 경우, 고전적 통신 복잡도와 GPT 기반 통신 복잡도 사이에 지수적 격차가 발생하며, 이는 기존의 선형 확장 복잡도에 대한 지수적 하한에 기반한다.
• 이 결과는 TSP와 같은 문제들 및 기타 조합 최적화 문제들이, 그 선형 확장 복잡도가 크더라도 완전히 양의 원뿔 위에서 작은 원뿔 프로그램으로 표현될 수 있음을 암시한다.
• 논문은 모든 다항식적으로 정의 가능한 0/1 다각형이 차원 d와 회로 크기 p(d)에 대해 n ≤ d + p(d)인 관측 다각형 COR(n)의 면의 사영임을 확립한다.