[论文解读] Generalized Finsler Geometry in Einstein, String and Metric--Affine Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用 17

一句话总结

本文在度量-仿射引力（MAG）框架内构建了广义芬斯勒-仿射几何，利用非完全框架和非线性（N-）联络来建模局部各向异性的时空。它确立了在爱因斯坦、弦理论和MAG理论中诱导芬斯勒型几何的准则，表明通用非对角度量通过N-联络配置固有地生成此类结构，将多种非黎曼几何统一于单一形式体系下，并明确分类了11种空间类型。

ABSTRACT

We develop the method of anholonomic frames with associated nonlinear connection (in brief, N--connection) structure and show explicitly how geometries with local anisotropy (various type of Finsler--Lagrange--Cartan--Hamilton geometry) can be modeled in the metric--affine spaces. There are formulated the criteria when such generalized Finsler metrics are effectively induced in the Einstein, teleparallel, Riemann--Cartan and metric--affine gravity. We argue that every generic off--diagonal metric (which can not be diagonalized by coordinate transforms) is related to specific N--connection configurations. We elaborate the concept of generalized Finsler--affine geometry for spaces provided with arbitrary N--connection, metric and linear connection structures and characterized by gravitational field strengths, i. e. by nontrivial N--connection curvature, Riemannian curvature, torsion and nonmetricity. We apply a irreducible decomposition techniques (in our case with additional N--connection splitting) and study the dynamics of metric--affine gravity fields generating Finsler like configurations. The classification of basic eleven classes of metric--affine spaces with generic local anisotropy is presented.

研究动机与目标

• 在度量-仿射引力（MAG）中统一局部各向异性几何——芬斯勒、拉格朗日、哈密顿、嘉当几何——于单一框架下。
• 确立在爱因斯坦、弦理论和MAG理论中，由通用非对角度量诱导出芬斯勒型构型的准则。
• 基于N-联络和d-联络结构，对具有通用局部各向异性的11种度量-仿射空间类型进行分类。
• 将形式体系扩展至统一处理非度量性、挠率和曲率，实现引力模型中几何的统一处理。
• 为在引力理论中构造具有通用非对角度量和非完全约束的精确解，提供系统化方法。

提出的方法

• 利用非完全框架及其关联的非线性（N-）联络结构，将度量-仿射空间分解为特殊（d-）分量。
• 应用d-联络形式体系（d-联络 = 适配N-联络分解的线性联络）以定义d-度量、d-挠率和d-曲率。
• 采用基于N-联络分解的不可约分解技术，分析引力场强度：曲率、挠率和非度量性。
• 引入广义芬斯勒-仿射几何，作为具有非平凡挠率和非度量性的度量-仿射几何与具有N-联络及各向异度量的芬斯勒型结构的综合。
• 通过适配N-联络和d-度量结构的抽象与坐标基计算，推导出d-挠率和d-曲率的显式公式。
• 基于N-联络、d-度量和联络类型，对11种广义芬斯勒-仿射空间类型（如广义拉格朗日-仿射、哈密顿-仿射、平行化、黎曼–嘉当等）进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在爱因斯坦、弦理论和度量-仿射引力理论中，芬斯勒型几何在何种条件下可被有效诱导？
• RQ2 无法通过坐标变换对角化的通用非对角度量与N-联络构型及局部各向异性之间有何关系？
• RQ3 非线性（N-）联络在统一度量-仿射引力中的多种非黎曼几何（芬斯勒、拉格朗日、哈密顿、嘉当）中起何作用？
• RQ4 广义芬斯勒-仿射几何如何基于d-联络、d-度量和非度量性结构进行系统分类？
• RQ5 在引力模型中，构造具有通用非对角度量、挠率和非度量性的精确解的几何与动力学准则为何？

主要发现

• 任何无法通过坐标变换对角化的通用非对角度量，均与特定N-联络构型内在关联，暗示存在局部各向异性。
• 利用N-联络的非完全框架方法，为在度量-仿射引力中建模芬斯勒、拉格朗日、哈密顿和嘉当几何提供了统一框架。
• 本文基于N-联络和d-联络结构，对11种不同的广义芬斯勒-仿射空间类型（如广义拉格朗日-仿射、哈密顿-仿射、平行化、黎曼–嘉当等）进行了分类。
• 非度量性、挠率和曲率被证明是生成芬斯勒型构型的根本因素，即使在缺乏黎曼或列维-奇维塔结构的情况下亦然。
• 定理4.1和定理4.2提供了在所有广义芬斯勒-仿射空间中计算d-挠率和d-曲率的显式程序，从而实现系统化解的构造。
• 该形式体系使在弦理论和度量-仿射引力中，对具有通用非对角度量和非完全约束的精确解得以实现，适用于2至5个变量，且在爱因斯坦引力中亦有效。