[論文レビュー] Nonholonomic Clifford Structures and Noncommutative Riemann--Finsler Geometry

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 67被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミー的多様体と非線形接続を非可換リーマン＝フィンスラー幾何およびラグランジュ幾何に結びつける幾何的枠組みを確立する。Cliffordモジュール、スピン角、ディラック作用素をN接続に適応させることで、非対称な計量とねじれを有する可換リーマン＝カルタン幾何が一般化されたフィンスラー幾何と同等であることを証明し、スペクトル三重対や非ホロノミー的変形によるディラック作用素の非可換拡張を可能にする。

ABSTRACT

We survey the geometry of Lagrange and Finsler spaces and discuss the issues related to the definition of curvature of nonholonomic manifolds enabled with nonlinear connection structure. It is proved that any commutative Riemannian geometry (in general, any Riemann--Cartan space) defined by a generic off--diagonal metric structure (with an additional affine connection possessing nontrivial torsion) is equivalent to a generalized Lagrange, or Finsler, geometry modeled on nonholonomic manifolds. This results in the problem of constructing noncommutative geometries with local anisotropy, in particular, related to geometrization of classical and quantum mechanical and field theories, even if we restrict our considerations only to commutative and noncommutative Riemannian spaces. We elaborate a geometric approach to the Clifford modules adapted to nonlinear connections, to the theory of spinors and the Dirac operators on nonholonomic spaces and consider possible generalizations to noncommutative geometry. We argue that any commutative Riemann--Finsler geometry and generalizations my be derived from noncommutative geometry by applying certain methods elaborated for Riemannian spaces but extended to nonholonomic frame transforms and manifolds provided with nonlinear connection structure.

研究の動機と目的

• 局所的異方性および非ホロノミー的構造を含む非可換幾何に一般化すること。
• 非対称計量とねじれを有する可換リーマン＝カルタン空間と一般化されたフィンスラー＝ラグランジュ幾何との間の対応関係を確立すること。
• 非ホロノミー的空間における非線形接続（N接続）構造を用いたスピン角およびディラック作用素の枠組みを構築すること。
• 非可換幾何におけるスぺクトル作用素の原理および距離式を、非ホロノミー的および異方的幾何へと拡張すること。
• ストリング理論およびゲージ重力にインspiredされた、局所的異方性を有する非可換重力および場の理論の幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• 非ホロノミー的多様体上の非線形接続（N接続）にCliffordモジュールおよびスピン構造を適応する。
• 非対称計量およびN接続構造と整合するd接続（区別された接続）を導入し、計量整合性を保証する。
• N適応ビールビンおよびスピンd接続に一般化されたディラック作用素を用いて、N非可換ディラック作用素を構成する。
• ベクトル bundle を N接続構造を有する射影モジュールとしてモデル化するためのセール＝スワンの定理を適用し、非可換ゲージ場の定式化を可能にする。
• Connesの非可換幾何をd接続およびd計量に適応することで、非ホロノミー的空間上でのスぺクトル三重対を導出する。
• 正則ラグランジュアンから導かれる標準d接続およびd計量を用いて、非可換ラグランジュ＝フィンスラー幾何を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称計量と非自明なねじれを有する可換リーマン＝カルタン幾何は、一般化されたフィンスラー＝ラグランジュ幾何として同等に記述可能か？
• RQ2 Cliffordモジュールおよびスピン構造は、非線形接続を備えた非ホロノミー的多様体へとどのように一般化可能か？
• RQ3 非ホロノミー的空間上でのディラック作用素の形は何か？ また、非可換幾何におけるスぺクトル三重対とどのように関係するか？
• RQ4 N接続形式を用いて、非可換幾何は局所的異方性および非ホロノミー的構造を含むように拡張可能か？
• RQ5 非ホロノミー的変形がディラック作用素に与える影響は、非可換重力における正確な解を生成するか？

主な発見

• 非対称計量と非自明なねじれを有する任意の可換リーマン＝カルタン幾何は、非ホロノミー的多様体上での一般化ラグランジュまたはフィンスラー幾何と同等である。
• d計量およびN接続から構成される標準d接続が計量整合的であるという事実は、非ホロノミー的空間上での一貫性のあるスピン角およびディラック作用素構造の定式化を可能にする。
• 主結果1は、非ホロノミー的スピン構造およびdスピン角の存在を確立し、ラグランジュスピン群を非ホロノミー的設定に一般化する。
• 主結果2は、N延長ビールビンおよびスピンd接続からN非可換ディラック作用素が構成可能であり、h-およびv分解を保存することを証明する。
• 主結果3は、dスピン角空間における距離式を導出し、その式が有限性および正値性を満たし、非ホロノミー的および異方的幾何にConnesのスぺクトル距離を一般化することを示す。
• 本稿は、非可換リーマン＝カルタンおよびラグランジュ＝フィンスラー空間が、非ホロノミー的フレーム変換およびディラック作用素の変形によって生成可能であり、非可換重力解への道筋を提供することを示している。