[論文レビュー] Generalized Rabinowitz Floer homology and coisotropic intersections

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、任意の余次元を持つコイソトロピック部分多様体へRabinowitz Floer homologyを拡張し、葉ごとの交点を研究するために複数のラグランジュ乗数を用いた一般化された作用関数を導入する。主な貢献は、局所的Rabinowitz Floer homologyが部分多様体の特異ホモロジーと同型であることを証明したことであり、これは適切なHoferノルムの上限のもとで、部分多様体のベッチ数以上に葉ごとの交点が存在することを示唆する。

ABSTRACT

In this paper, we extend Rabinowitz Floer homology theory which has been established and extensively studied for hypersurfaces to coisotropic submanifolds of higher codimension. With this generalized version of Rabinowitz Floer homology theory, we explore the coisotropic intersection problem which interpolates between the Lagrangian intersection problem and the closed orbit problem. To be specific, we study the existence of leafwise intersection points on contact coisotropic submanifolds and the displaceability of stable coisotropic submanifolds.

研究の動機と目的

• 超曲面から任意の余次元を持つコイソトロピック部分多様体へRabinowitz Floer homologyを一般化すること。
• 接触的および安定なコイソトロピック部分多様体上の葉ごとの交点の存在を研究すること。
• 幾何学的・位相的特徴を検出できるホモロジー不変量—一般化されたRabinowitz Floer homology—を確立すること。
• 一般化された作用関数の局所的Rabinowitz Floer homologyが部分多様体の特異ホモロジーと同型であることを証明すること。

提案手法

• 余次元kのコイソトロピック部分多様体に対して、複数のラグランジュ乗数を用いた一般化されたRabinowitz作用関数を導入する。
• 作用関数の臨界点を用いて、作用ウィンドウ内の境界付き領域で一般化されたRabinowitz Floer homologyを定義する。
• 摂動技術と継続写像を用いて、異なる作用ウィンドウを関連付け、不変性を確立する。
• Arzelà-Ascoli定理を適用して、局所的作用ウィンドウ内での臨界点の有限性を示す。
• コイソトロピック部分多様体の特徴的foliation上のReebフローに依存し、高余次元におけるReeb軌道を一般化する。
• 部分多様体上のモース理論的議論を用いて、局所的Rabinowitz Floer homologyと特異ホモロジーの同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたRabinowitz Floer homologyは、高余次元のコイソトロピック部分多様体上の葉ごとの交点の存在を検出できるか？
• RQ2 コイソトロピック部分多様体の局所的Rabinowitz Floer homologyは計算可能であり、その特異ホモロジーと関連づけられるか？
• RQ3 ハミルトニアンのHoferノルムと、それが誘導する葉ごとの交点の数との関係は何か？
• RQ4 一般化されたRabinowitz作用関数は摂動および継続写像の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 安定または接触的コイソトロピック部分多様体が非可縮可能であるための条件は何か？

主な発見

• 局所的Rabinowitz Floer homologyは、Z/2係数を用いたコイソトロピック部分多様体の特異ホモロジーと同型である。
• 局所的Rabinowitz Floer homologyの次元は、部分多様体のベッチ数の和以上である。
• 非自明な一般化されたReeb軌道の最小作用よりもHoferノルムが小さいハミルトニアン微分同相写像に対して、葉ごとの交点の数は部分多様体のベッチ数以上に下限づけられる。
• 一般化されたRabinowitz Floer homologyは継続写像に関して不変であり、作用ウィンドウ間で同型が保たれる。
• 局所的ウィンドウ内での一般化された作用関数の臨界点は、部分多様体上の点と一対一に対応し、境界作用素にカスケードは存在しない。
• 標準Rabinowitz関数から摂動された関数への継続写像は、特異ホモロジーから局所的Rabinowitz Floer homologyへの単射準同型を誘導する。