[論文レビュー] Generating spaces of modular forms with $η$-quotients

L. J. P. Kilford|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、合同部分群 $\Gamma_0(N)$ に関するすべてのモジュラー形式が、$η$-積の有理関数として表現可能であることを示しており、Onoの$η$-商によるモジュラー形式空間の生成に関する問いに拡張している。主な結果は、このような形式が、レベル高々 $4N$ の$η$-積を用いて表現可能であることを示しており、$E_4$、$E_6$、$Δ$ の既知の$η$-商表現を活用し、$j$-不変量およびそのレベル$N$ における変種によって生成されるモジュラー関数の体に依拠している。

ABSTRACT

In this note we consider a question of Ono, concerning which spaces of classical modular forms can be generated by sums of $η$-quotients. We give some new examples of spaces of modular forms which can be generated as sums of $η$-quotients, and show that we can write all modular forms of level $Γ_0(N)$ as rational functions of $η$-products.

研究の動機と目的

• 古典的モジュラー形式の空間のうち、どの空間が$η$-商の和によって生成可能かというOnoの未解決の問いに応えること。
• Eisenstein級数および尖点形式の$η$-商による既知の表現を、すべてのモジュラー形式の一般生成法に拡張すること。
• すべてのモジュラー形式 $f \in M_k(\Gamma_0(N))$ が、$η$-積の有理関数として表現可能であることを証明すること。
• このような表現に必要な最小レベルを特定し、レベル$N$ の形式に対してはレベル$4N$で十分であることを示すこと。

提案手法

• $E_4$、$E_6$、$Δ = η^{24}$ がすべて、既知の$η$-商表現を持つ$η$-積の有理関数であるという事実を利用する。
• 与えられたモジュラー形式 $f \in M_k(\Gamma_0(N))$ から、重みが0になるように $a$、$b$、$c$ を選んで、重み0のモジュラー関数 $g = f \times E_4^a E_6^b / Δ^c$ を構成する。
• Milneの定理（$\Gamma_0(N)$ のモジュラー関数の体は $j(q)$ と $j(q^N)$ によって生成される）を適用し、このように得られる $g$ が、これらの2つの$j$-不変量の有理関数であることを示す。
• $j(q) = E_4^3 / Δ$ および $j(q^N)$ が$η$-積の有理関数であるので、$g$ も同様に$η$-積の有理関数であり、したがって $f$ も$η$-積の有理関数である。
• $E_4$ と $E_6$ のレベル4表現に起因して、必要な$η$-積は高々レベル$4N$であることを示す。
• Sturmの境界と$q$-展開の比較を用いて、$η$-商と古典的モジュラー形式との間の恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのモジュラー形式 $f \in M_k(\Gamma_0(N))$ は、$η$-積の有理関数として表現可能か？
• RQ2 レベル$N$ のすべてのモジュラー形式を生成するための$η$-積の最小レベルは何か？
• RQ3 $E_4$ と $E_6$ を、素数レベルの$η$-商のみで表現するのはなぜ不可能なのか？
• RQ4 $\Gamma_0(N)$ のモジュラー関数の体は、$η$-積および$j$-不変量とどのように関係しているか？
• RQ5 $E_4$ と $E_6$ の変換条件を満たすために、複数の独立した$η$-商解が必要となる制約は何か？

主な発見

• すべてのモジュラー形式 $f \in M_k(\Gamma_0(N))$ は、$η$-積の有理関数として表現可能である。
• 必要な$η$-積は高々レベル$4N$であり、この上限は$E_4$ と $E_6$ のレベル4表現に起因する。
• $E_4$ と $E_6$ を$η$-商として表現するには、少なくとも2つの異なる素因数、または素数の平方を含むレベルが必要であり、素数レベルの表現では不十分である。
• 空間 $M_k(\Gamma_0(N))$ は、$η$-積の有理関数によって生成可能であり、レベル $N=1,2,3,4,5,7,11,27,28,44,576,27$ の明示的例が提示されている。
• 証明は、$\Gamma_0(N)$ のモジュラー関数の体が $j(q)$ と $j(q^N)$ によって生成されることに依拠しており、これら2つがいずれも$η$-積の有理関数である。
• この手法により、すべての恒等式はSturmの境界まで$q$-展開の比較によって検証可能であり、モジュラー形式の等価性が確認できる。