[論文レビュー] Genus Two Modular Bootstrap

Minjae Cho, Scott Collier+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3重対称積CFTにおける$\mathbb{Z}_3$-twist場の球面4点関数へと写像する genus two のモジュラー bootstrap フレームワークを、2次元単位的CFTに対して開発する。genus two の conformal block の再帰的表現と、対称点$z = \bar{z} = 1/2$における交差方程式の解析により、軽い-軽い-重い、軽い-重い-重い、および重い-重い-重いチャネルを含む、全演算子スペクトルにわたる構造定数を制約する臨界面を導出する。

ABSTRACT

We study the Virasoro conformal block decomposition of the genus two partition function of a two-dimensional CFT by expanding around a Z3-invariant Riemann surface that is a three-fold cover of the Riemann sphere branched at four points, and explore constraints from genus two modular invariance and unitarity. In particular, we find 'critical surfaces' that constrain the structure constants of a CFT beyond what is accessible via the crossing equation on the sphere.

研究の動機と目的

• 2次元CFTにおけるgenus twoリーマン面のモジュラー bootstrapプログラムを構築し、球面およびトーラス bootstrap を高 genus へと拡張すること。
• explicitな conformal block 計算が困難であるという技術的課題を、再帰的プラミングフレーム表現を用いることで克服すること。
• genus two のモジュラー交差方程式の解析により、CFTの全スケーリング次元スペクトルにわたる構造定数の制約を導出すること。
• genus two 交差方程式が、genus one や球面4点関数の制約を越えて、軽い-軽い-重いおよび重い-重い-重い構造定数を同時に制約できることを示すこと。

提案手法

• 3重対称積CFTにおける$\mathbb{Z}_3$-twist場の球面4点関数へ、genus two の partition function を写像する。
• プラミングフレームにおけるgenus two Virasoro conformal block の再帰的表現を用い、中心電荷$c$およびスケーリング次元に明示的な依存性を持つ。
• conformal block を$\mathcal{F}_c = \exp[c\mathcal{F}^{\text{cl}}(z)] \mathcal{G}_c$と表現し、大$c$寄与と有限$c$寄与を分離する。
• 対称点$z = \bar{z} = 1/2$における$z$および$\bar{z}$の1次微分までで、genus two のモジュラー交差方程式を評価する。この点ではリーマン面が$\mathbb{Z}_3$-不変である。
• conformal block 展開の1次微分に交差対称性を課すことにより、スケーリング次元の空間における臨界面を導出する。
• この$\mathbb{Z}_3$-不変 Renyi 表面が、既知の周期行列とモジュラー性を持つ、1つの複素数パラメータを持つgenus two 表面の自然な族を提供することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的な conformal block 計算が困難な状況下で、genus two のモジュラー bootstrap はどのように実装可能か？
• RQ2 genus one や球面4点関数の制約を超えて、genus two のモジュラー交差方程式から得られるCFT構造定数の制約は何か？
• RQ3 genus two 交差方程式は、軽い-軽い-軽い構造定数に加え、軽い-軽い-重いおよび重い-重い-重い構造定数を同時に制約できるか？
• RQ4 $\mathbb{Z}_3$-不変 Renyi 表面は、genus two のモジュラー bootstrap を簡略化する役割を果たすか？
• RQ5 再帰的 conformal block 表現は、対称点$z = \bar{z} = 1/2$におけるモジュラー交差方程式から物理的制約を抽出するためにどのように利用可能か？

主な発見

• genus two のモジュラー交差方程式を$z = \bar{z} = 1/2$において1次微分まで展開すると、CFTの全スペクトルにわたる構造定数$C_{ijk}$を制約する臨界面が得られる。
• 臨界面は、軽い-軽い-軽い構造定数に加え、軽い-軽い-重いおよび重い-重い-重い構造定数も制約しており、従来の制約を超えて bootstrap の有効性を拡張する。
• conformal block 展開は、$c = c_{rs}(h_i)$における$c$依存性を持つ極を含む再帰的公式で表現され、係数$\mathcal{A}^{rs}_i$はスケーリング次元に対して明示的な関数として与えられる。
• genus two の partition function が$\mathbb{Z}_3$-不変 Renyi 表面にあるとき、それは$\mathbb{Z}_3$-twist 場の球面4点関数と等価であり、既知のOPEおよび交差技術の適用が可能になる。
• この方法により、$\exp[c\mathcal{F}^{\text{cl}}(z)]$によって大$c$の振る舞いが捉えられ、有限$c$寄与$\mathcal{G}_c$は再帰的に計算可能である。
• 交差方程式の高次微分を用いることで、よりきつい制約が得られるが、スケーリング次元とスピンの3次元空間と、切断による近似のため、数値的実装は困難である。