[論文レビュー] Geometry of theta divisors --- a survey

Samuel Grushevsky, Klaus Hulek|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 58被引用数 7

ひとこと要約

本調査は、 principally polarized abelian varieties (ppav) のtheta divisorの幾何を検討し、特にtheta divisorの特異性によって定義されるlocus、たとえば Andreotti-Mayer loci や立方三重曲面の中間ヤコビアンを対象とする。特異性の退化技術とtoroidal compactificationを用いて、チャウ環またはコホロジー環におけるサイクル類を計算し、特に5次元において非マトロイド的cone $\sigma_1$ におけるtheta関数の非消滅性について詳細な分析を行う。

ABSTRACT

We survey the geometry of the theta divisor and discuss various loci of principally polarized abelian varieties (ppav) defined by imposing conditions on its singularities. The loci defined in this way include the (generalized) Andreotti-Mayer loci, but also other geometrically interesting cycles such as the locus of intermediate Jacobians of cubic threefolds. We shall discuss questions concerning the dimension of these cycles as well as the computation of their class in the Chow or the cohomology ring. In addition we consider the class of their closure in suitable toroidal compactifications and describe degeneration techniques which have proven useful. For this we include a discussion of the construction of the universal family of ppav with a level structure and its possible extensions to toroidal compactifications. The paper contains numerous open questions and conjectures.

研究の動機と目的

• ppavのモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ における、theta divisorの特異性によって定義されるlocusを体系的かつ系統的に研究すること。
• これらのlocusの次元およびチャウ環／コホロジー環における類を調査すること。特に Andreotti-Mayer loci や中間ヤコビアン loci を含む。
• レベル構造を備えたppavの普遍族を、特に第二バーノイ compactification におけるtoroidal compactificationにまで拡張すること。
• 退化技術を用いて、特に立方三重曲面の中間ヤコビアン loci におけるサイクル類を計算すること。
• theta divisorの幾何およびその特異性に関する未解決問題や予想に取り組むこと。

提案手法

• 特に第二バーノイ分解を用いたtoroidal compactificationを用いて、ppavおよびそのtheta divisorの退化を研究すること。
• レベル構造を備えたppavの普遍族を構成し、その境界ストラトゥムへのtoroidal compactificationへの拡張を実行すること。
• 境界ストラトゥムにおけるtheta関数の振る舞いを分析することで、退化を用いたサイクル類の計算を行うこと。
• 立方三重曲面の中間ヤコビアン loci に対して退化技術を適用し、toralチャートにおける明示的な座標展開を用いること。
• コンピュータ代数による直接的検証により、5次元における非マトロイド的cone $\sigma_1$ に対応するストラトゥム上で、thetaセクション $\overline{f_m}$ が恒等的に消えないことを確認すること。
• 双対coneとtoral座標を用いて、$t_{ij}$ を $s_i$ と $T_j$ の関数として表現し、theta関数のテイラー展開を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた次元または重複度をもつ特異theta divisorをもつppavのlocusの次元およびチャウ環における類は何か？
• RQ2 立方三重曲面の中間ヤコビアン loci の類は、toroidal compactificationにおける退化技術を用いてどのように計算できるか？
• RQ3 なぜ5次元における非マトロイド的cone $\sigma_1$ は第二バーノイ分解に含まれないのか？ また、そのストラトゥム上でthetaセクションの非消滅性をどのように検証できるか？
• RQ4 レベル構造を備えたppavの普遍族の構造は、toroidal compactification上、どのように構成されるか？ また、境界にどのように拡張されるか？
• RQ5 退化法は、低次元theta divisorの接点によって生じるsemi-abelic theta divisorの特異性を調べるのにも一般化可能か？

主な発見

• 5次元におけるcone $\sigma_1$ はマトロイドlocusにも第二バーノイ分解にも属さないが、次元5の基本coneである。
• 双対cone $\sigma_1^\vee$ は15個の生成元によって生成され、そのうち10個は $\sigma_1$ に直交し、残りの5個は1つの生成子と1のペアリングを持つ。
• toral多様体 $T_{\sigma_1}$ は $({\mathbb{C}}^*)^{10} \times {\mathbb{C}}^5$ に同型であり、$t_{ij}$ から導かれる明示的な座標 $s_i$ と $T_j$ が与えられる。
• コンピュータ計算により、496個の奇数2-torsion点 $m$ のすべてについて、ストラトゥム $T_1 = \cdots = T_5 = 0$ 上でセクション $\overline{f_m}$ が恒等的に消えないことが確認された。
• $\sigma_1$ に対応するストラトゥムは、第二バーノイ分解に基づく標準的な退化技術ではカバーされないため、直接的証明が不可欠であった。
• $\sigma_1$ の解析は、非マトロイド的かつ非バーノイcone上でのtheta関数の直接的解析が可能である稀な事例を提供し、退化法の適用範囲を拡張した。