[论文解读] Global dimensions of rings with respect to a semidualizing module

Guoqiang Zhao, Juxiang Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过引入强 $G_C$-投射模与 $G_C$-内射模，类比自由模对投射模的刻画方式，对 $G_C$-投射模与 $G_C$-内射模进行了新的刻画。核心贡献在于证明了环 $R$ 的 $G_C$-投射与 $G_C$-内射整体维数相等，从而定义了一类新不变量——$R$ 的 $C$-Gorenstein 整体维数，该不变量推广了经典整体维数与 Gorenstein 同调维数。

ABSTRACT

In this paper, the notion of strongly G_C-projective and injective modules is introduced, where C is a semidualizing module. Using these modules we can obtain a new characterization of G_C-projective and injective modules, similar to the one of projective modules by the free modules. We then define and study the global dimensions of rings relative to a semidualizing module C, and prove that the global G_C-projective dimension of a ring R is equal to the global G_C-injective dimension of R.

研究动机与目标

• 通过强 $G_C$-投射与 $G_C$-内射模，对 $G_C$-投射与 $G_C$-内射模建立新的刻画。
• 针对环 $R$ 与半对偶模 $C$，定义并研究 $G_C$-投射与 $G_C$-内射整体维数。
• 建立 $R$ 的 $G_C$-投射整体维数与 $G_C$-内射整体维数之间的相等性，推广 Gorenstein 同调代数中的经典结果。
• 探究 $C$-Gorenstein 整体维数与其他经典整体维数（如经典整体维数与弱整体维数）之间的关系。
• 为 Takahashi 与 White 提出的问题提供部分肯定回答：在 $\mathcal{P}_C$-投射维数与 $\mathcal{I}_C$-内射维数满足有限性条件时，有限 $C$-Gorenstein 整体维数的局部 Cohen-Macaulay 环是否为 Gorenstein 环。

提出的方法

• 引入强 $G_C$-投射与 $G_C$-内射模类，作为 $G_C$-投射与 $G_C$-内射模类的细化。
• 证明：一个 $R$-模是 $G_C$-投射（相应地，内射）当且仅当它是某个强 $G_C$-投射（相应地，内射）$R$-模的直和项。
• 将环 $R$ 的 $G_C$-投射与 $G_C$-内射整体维数定义为所有 $R$-模上 $G_C$-投射与 $G_C$-内射维数的上确界。
• 利用同调工具（如 $\text{Hom}_R(-,\text{--})$-正合序列与特征模）将 $G_C$-维数与经典维数联系起来。
• 建立 $C$-Gorenstein 整体维数与经典整体维数之间的不等式，证明 ${\rm G}_C{\text{-}}{\rm gl.dim}(R) \leq \mathop{\rm gl.dim}(R)$。
• 通过对偶性与归纳法论证，证明 $G_C$-内射维数的上界受控于 $G_C$-投射维数的上界，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过更强的模类对 $G_C$-投射与 $G_C$-内射模进行刻画，类比于自由模对投射模的刻画？
• RQ2 当 $C$ 为半对偶模时，环 $R$ 的 $G_C$-投射整体维数是否等于其 $G_C$-内射整体维数？
• RQ3 $R$ 的 $C$-Gorenstein 整体维数与 $R$ 的经典整体维数之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，有限 $C$-Gorenstein 整体维数可推出某个 $R$-模具有有限内射或投射维数？
• RQ5 在 $\mathcal{P}_C$-投射与 $\mathcal{I}_C$-内射维数满足有限性条件时，有限 $C$-Gorenstein 整体维数是否意味着具有对偶模的局部 Cohen-Macaulay 环是 Gorenstein 环？

主要发现

• 环 $R$ 的 $G_C$-投射与 $G_C$-内射整体维数相等，该共同值被定义为 $R$ 的 $C$-Gorenstein 整体维数，记为 ${\rm G}_C{\text{-}}{\rm gl.dim}(R)$。
• 每个 $G_C$-投射（相应地，$G_C$-内射）模都是某个强 $G_C$-投射（相应地，$G_C$-内射）模的直和项。
• 强 $G_C$-投射模类严格介于 $C$-投射模类与 $G_C$-投射模类之间。
• $C$-Gorenstein 整体维数满足 ${\rm G}_C{\text{-}}{\rm w}\mathop{\rm gl.dim}(R) \leq {\rm G}_C{\text{-}}{\rm gl.dim}(R) \leq \mathop{\rm gl.dim}(R)$，当经典整体维数有限时取等。
• 对于 $C$-Gorenstein 整体维数有限的环，$\mathcal{P}_C$-投射维数有限当且仅当内射维数有限，且对 $\mathcal{I}_C$-内射维数有对偶结论。
• 本研究为 Takahashi 与 White 提出的问题提供了部分肯定回答：若 $R$ 是具有对偶模的局部 Cohen-Macaulay 环，且 $C$-Gorenstein 整体维数有限，则在给定有限性条件下，$R$ 是 Gorenstein 环。