[论文解读] Guarding Path Polygons with Orthogonal Visibility

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文提出了一种线性时间的几何算法，用于计算简单正交路径多边形（其垂直分解对偶图是一条路径）的最少数量的 r-守卫（正交可见性守卫）。通过利用几何特性，并采用涉及平衡单调分解与守卫位置贪心合并的两阶段方法，该方法实现了 O(n) 的时间复杂度，显著优于 Worman 和 Keil 提出的 O(n^17 polylog n) 的先前复杂度界限。

ABSTRACT

We are interested in the problem of guarding simple orthogonal polygons with the minimum number of $ r $-guards. The interior point $ p $ belongs an orthogonal polygon $ P $ is visible from $ r $-guard $ g $, if the minimum area rectangle contained $ p $ and $ q $ lies within $ P $. A set of point guards in polygon $ P $ is named guard set (as denoted $ G $) if the union of visibility areas of these point guards be equal to polygon $ P $ i.e. every point in $ P $ be visible from at least one point guards in $ G $. For an orthogonal polygon, if dual graph of vertical decomposition is a path, it is named path polygon. In this paper, we show that the problem of finding the minimum number of $ r $-guards (minimum guard set) becomes linear-time solvable in orthogonal path polygons. The path polygon may have dent edges in every four orientations. For this class of orthogonal polygon, the problem has been considered by Worman and Keil who described an algorithm running in $ O(n^{17} poly\log n) $-time where $ n $ is the size of the input polygon. The problem of finding minimum number of guards for simple polygon with general visibility is NP-hard, even if polygon be orthogonal. Our algorithm is purely geometric and presents a new strategy for $ r $-guarding orthogonal polygons and guards can be placed everywhere in the interior and boundary of polygon.

研究动机与目标

• 解决路径多边形在 r-可见性（正交可见性）下的正交博物馆问题。
• 开发一种完全基于几何的算法，避免依赖图论抽象。
• 将路径多边形的最小 r-守卫集计算时间复杂度从 O(n^17 polylog n) 降低至 O(n)。
• 将先前针对单调正交多边形的几何策略推广至更广泛的路径多边形类别。
• 为使用最少 r-守卫的正交路径多边形提供一种实用且高效的解决方案。

提出的方法

• 使用垂直分解将正交路径多边形分解为平衡的单调正交子多边形。
• 将左右边界上反射顶点对所跨越的矩形识别为候选守卫位置。
• 对于每个水平边段，计算可覆盖对应走廊段的可见性矩形（位置）。
• 将上下边界上的重叠守卫位置进行合并，以最小化守卫总数。
• 对排序后的守卫位置列表应用贪心合并策略，以消除冗余守卫。
• 将所有平衡子多边形的结果合并，以 O(n) 时间计算全局最小守卫集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用几何方法而非图论方法，在线性时间内计算正交路径多边形的最小 r-守卫集？
• RQ2 路径多边形的结构（所有四个方向均存在反射顶点）如何使其解法比一般正交多边形更高效？
• RQ3 平衡单调子多边形的哪些几何特性使得能够实现线性时间的守卫布置策略？
• RQ4 在不牺牲最优性的情况下，单调多边形的几何策略能在多大程度上扩展至路径多边形？
• RQ5 是否可能在保持最优性的同时，将路径多边形的 r-守卫时间复杂度从 O(n^17 polylog n) 降低至 O(n)？

主要发现

• 所提出的算法以 O(n) 时间计算正交路径多边形的最小 r-守卫集，其中 n 为顶点数。
• 该算法完全基于几何，依赖于基于矩形的可见性与位置合并，避免了复杂的图论约化。
• 时间复杂度为线性，因为所有平衡单调子多边形的顶点总数为 O(n)，且每个子问题均可在线性时间内求解。
• 该方法通过利用对偶图的路径结构，优于 Worman 和 Keil 的 O(n^17 polylog n) 算法。
• 该算法的空间复杂度为 O(n)，与时间效率相匹配。
• 通过确保每个平衡单调部分的每个齿边均被至少一个守卫覆盖，并通过合并消除冗余守卫，该算法实现了最优性。