[論文レビュー] Higher Genus FJRW Invariants of a Fermat Cubic

Jun Li, Yefeng Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Fermat立方体Landau-Ginzburg空間に対して、FJRW理論とGromov-Witten理論における擬モジュラー形式のCayley変換を構成することにより、完全な全種数Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応を確立する。全種数FJRW不変量が、Chazy方程式を満たす種数1の一次不変量によって完全に決定されることを証明し、楕円曲線のGromov-Witten不変量を用いてそれらを計算することで、正則異常方程式およびVirasoro制約が明らかになる。

ABSTRACT

We reconstruct the all-genus Fan-Jarvis-Ruan-Witten invariants of a Fermat cubic Landau-Ginzburg space $(x_1^3+x_2^3+x_3^3: [\mathbb{C}^3/ \mathboldμ_3] o \mathbb{C})$ from genus-one primary invariants, using tautological relations and axioms of Cohomological Field Theories. These genus-one invariants satisfy a Chazy equation by the Belorousski-Pandharipande relation. They are completely determined by a single genus-one invariant, which can be obtained from cosection localization and intersection theory on moduli of three spin curves. We solve an all-genus Landau-Ginzburg/Calabi-Yau Correspondence Conjecture for the Fermat cubic Landau-Ginzburg space using Cayley transformation on quasi-modular forms. This transformation relates two non-semisimple CohFT theories: the Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory of the Fermat cubic polynomial and the Gromov-Witten theory of the Fermat cubic curve. As a consequence, Fan-Jarvis-Ruan-Witten invariants at any genus can be computed using Gromov-Witten invariants of the elliptic curve. They also satisfy nice structures including holomorphic anomaly equations and Virasoro constraints.

研究の動機と目的

• Fermat立方体Landau-Ginzburg空間に対する全種数Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応の予想を解決すること。
• トロイタル関係およびCohFT公理を用いて、高種数FJRW不変量を種数1の一次不変量に再構成すること。
• モジュラー性質を用いて、FJRW不変量が正則異常方程式およびVirasoro制約を満たすことを示すこと。
• 擬モジュラー形式におけるCayley変換を用いて、FJRW不変量を楕円曲線のGromov-Witten不変量により計算すること。
• 種数1のFJRW不変量が、単一の不変量によって完全に決定されることを示し、これにはcosection局在化および三スピン曲線のモジュライ空間上の交線論が用いられる。

提案手法

• トロイタル関係およびCohomological Field Theory (CohFT)公理を用いて、高種数FJRW不変量を種数1の一次不変量に還元する。
• Belorousski-Pandharipande関係を適用し、種数1不変量に対してChazy微分方程式を導出する。
• cosection局在化および三スピン曲線のモジュライ空間上の交線論を用いて、単一の種数1 FJRW不変量を計算する。
• 楕円曲線のGW理論の$I$関数とFermat立方体のFJRW理論の$I$関数の間でCayley変換を構成する。
• $I$関数をモジュラー形式に関連付け、それらがモジュラー曲線$\Gamma(3)\backslash\mathbb{H}^*$上の$K_{\rm Σ}^{1/2}$の同じ正則切断を記述することを示す。
• フレーム変換によるモジュラー完備化を用いて、両側の定常相関関数を関連付け、モジュラー変換および正則拡張の下で等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fermat立方体の全種数FJRW不変量は、種数1の一次不変量から再構成可能か？
• RQ2 Fermat立方体の種数1 FJRW不変量はどのように決定され、何の微分方程式を満たすか？
• RQ3 Fermat立方体のFJRW理論と楕円曲線のGromov-Witten理論を結ぶ正確な数学的メカニズムは何か？
• RQ4 FJRW不変量は正則異常方程式およびVirasoro制約を満たすか？ もしそうなら、これらの構造はどのように実現されるか？
• RQ5 擬モジュラー形式におけるCayley変換は、全種数においてどのようにLandau-Ginzburg/Calabi-Yau対応を符号化するか？

主な発見

• Fermat立方体の全種数FJRW不変量は、単一の種数1一次不変量によって完全に決定される。
• 種数1一次不変量は、Belorousski-Pandharipande関係から導かれるChazy方程式を満たす。
• 種数1不変量は、cosection局在化および三スピン曲線のモジュライ空間上の交線論を用いて計算される。
• Landau-Ginzburg/Calabi-Yau対応は、GW理論とFJRW理論の$I$関数間のCayley変換によって実現される。
• Fermat立方体の任意の種数におけるFJRW不変量は、擬モジュラー形式のモジュラー変換を経て、楕円曲線のGromov-Witten不変量から計算可能である。
• 両側の定常相関関数はモジュラー完備化によって関連付けられ、量$(I_0^\clubsuit)^{2-2g} \langle \cdots \rangle^{\widehat{\leavevmode\nobreak\ }} (d\tau^\clubsuit)^{\otimes n}$は、モジュラー曲線$\Gamma(3)\backslash\mathbb{H}^*$上の$K_{\mathcal{M}}^{\otimes n}$のグローバルセクションである。