[論文レビュー] Hitchin Equation, Irregular Singularity, and $N=2$ Asymptotical Free Theories

Dimitri V. Nanopoulos, Dan Xie|arXiv (Cornell University)|May 8, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 91被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、4次元 $N=2$ 渐近的自由なゲージ理論、特に $A$-型クオーヴァー理論において、ヒチン方程式の不規則特異点が不可欠であることを確立している。不規則特異点と規則的特異点を含むヒチン方程式を解くことで、正しいクーロン枝次元とセイバーグ＝ウィッテン幾何学が得られ、$SU(N)$ クオーヴァー理論に基本的マターを含む場合、解のモジュライ空間が物理的クーロン枝と一致することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study irregular singular solution to Hitchin's equation and use it to describe four dimensional $N=2$ asymptotically free gauge theories. For $SU(2)$ $A$ type quiver, two kinds of irregular singularities besides one regular singularity are needed for the solution of Hitchin's equation; We then classify irregular singularities needed for the general $SU(N)$ $A$ type quiver.

研究の動機と目的

• UV でラグランジアン記述を持たない $N=2$ 渐近的自由な $A$-型クオーヴァーゲージ理論にまでヒチン系の記述を拡張すること。
• ゲージ理論のすべてのUVパラメータを説明するための、解における不規則特異点と規則的特異点の必要タイプを特定すること。
• ヒチン方程式の解のモジュライ空間が、物理的理論の正しいクーロン枝次元を再現することを示すこと。
• $SU(2)$ から $SU(N)$ クオーヴァーへの構成の一般化を行い、任意の $N$ に対して必要な不規則特異点構造を分類すること。

提案手法

• マークされた点を持つリーマン面上でヒチン方程式を解き、ゲージ理論の穴（puncture）をモデル化するため、規則的および不規則特異点を組み込む。
• ブロック対角構造と極の位数解析を用いたヒッグス場のアンザッツにより、特異点近傍でのスペクトル曲線の振る舞いを分類する。
• 不規則特異点（ヤング図式と極の位数を用いて）と規則的単純穴からの寄与を合算することで、ヒチンのファイブレーションの基底の次元を計算する。
• $p_i = n_i - \textstyle\bigsum_{j=i}^r d_j$ を定義し、不規則特異点の構造を分類し、ヒッグス場における最大極位数を決定する。
• スペクトル曲線の分解を用いて、ヒチンモジュライ空間の基底の総次元を $A_N$ クオーヴァーゲージ理論のクーロン枝次元と一致させること。
• 不規則特異点と規則的特異点からの次元公式が、非共形的・漸近的自由な設定下でも既知の共形ケースの公式（式 (79)）と一致することを示し、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $N=2$ 渐近的自由な $A$-型クオーヴァーゲージ理論を記述するためのヒチン方程式における特異点の種類が必要となるか？
• RQ2 不規則特異点は、ヒチンモジュライ空間におけるクーロン枝次元にどのように寄与するか？
• RQ3 ヒチンのファイブレーションの基底の次元は、基本的マターを含む $SU(N)$ クオーヴァー理論の物理的クーロン枝次元を再現できるか？
• RQ4 不規則特異点近傍でのヒッグス場の構造は、ゲージ理論のUVデータをどのように符号化するか？
• RQ5 不規則特異点と規則的特異点からの次元公式は、既知の共形クオーヴァー用の公式に等しいか？

主な発見

• $SU(2)$ $A$-型クオーヴァー理論では、UVパラメータ空間を完全に記述するためのヒチン方程式の解に、2つの不規則特異点と1つの規則的特異点が必要である。
• 不規則特異点と規則的特異点からの寄与を合算したヒチンファイブレーションの基底次元は、物理的 $A_N$ クオーヴァーゲージ理論のクーロン枝次元と正確に一致する。
• 不規則特異点からの寄与は、分割 $n_i = k_i - k_{i-1}$ に対応するヤング図式 $Y'$ とヒッグス場の極構造によって決定され、$p_i$-条件から最大極位数が導かれる。
• 不規則特異点近傍でのスペクトル曲線は、$g_eta(x,z)$ を含む積に分解され、その極構造とヤング図式 $Y'$ が不規則特異点の寄与を符号化する。
• 範囲 $N - \textstyle\bigsum_{i=1}^k n_i < j \neq N - \textstyle\bigsum_{i=1}^{k-1} n_i$ 内の $j$ に対して、極位数は $\sum_{i=k+1}^r n_i + \alpha - k - 1 + 2m$（$m=0$ から $n_k-1$ まで）であり、式 (84) を通じて次元に寄与する。
• 不規則特異点と規則的特異点からの総次元は、既知の公式（式 (79)）と一致し、ヒチン系と物理的クーロン枝の間の一貫性が、漸近的自由な設定下でも確認された。