[논문 리뷰] Hyperbolic relaxation technique for solving the dispersive Serre-Green-Naghdi Equations with topography

Jean‐Luc Guermond, Christopher E. Kees외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 01.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 완전한 수심 효과를 고려한 분산성 Serre-Green-Naghdi 방정식에 대해 초순환 재구성 기법을 도입하여, 초순환 재구성에 의해 안정적이고 명시적인 시간 적분이 가능해지도록 한다. 이 방법은 원래 모델로 수렴하고 실험 결과와 뛰어난 일치를 보이며, 특히 수심 보정 항을 포함할 경우에 우수한 성능을 발휘하는, 잘 균형 잡힌, 양수성을 유지하는 2차 정밀도의 유한요소 시뮬레이션을 보장한다.

ABSTRACT

The objective of this paper is to propose a hyperbolic relaxation technique for the dispersive Serre-Green-Naghdi equations (also known as the fully non-linear Boussinesq equations) with full topography effects introduced in Green, A.E. and Naghdi, P.M. (J. Fluid Mech., 78, 237-246, 1976) and Seabra-Santos el al (J. Fluid Mec.h, 176, 117-134, 1997). This is done by revisiting a similar relaxation technique introduced in Guermond el al (J. Comput. Phys., 399, 108917, 2019) with partial topography effects. We also derive a family of analytical solutions for the one-dimensional dispersive Serre-Green-Naghdi equations that are used to verify the correctness the proposed relaxed model. The method is then numerically illustrated and validated by comparison with experimental results.

연구 동기 및 목표

• 완전한 수심 효과를 고려한 분산성 Serre-Green-Naghdi 방정식에서의 3차 공간 도함수에 기인한 수치적 과제를 해결한다.
• 고차 도함수로 인해 암시적 시간 적분이 제한되는 문제를 해결하기 위해, 이론적 재구성 기법을 통해 시스템을 초순환형으로 재구성한다.
• 재구성 방법이 잘 균형 잡힘, 양수성, 에너지 보존과 같은 핵심 물리적 성질을 유지하도록 보장한다.
• 특히 복잡한 수심 구조에서의 파도 반사 및 침입 현상을 중심으로 실험 데이터와의 정확한 비교를 통해 방법을 검증한다.
• 실제 파동 역학의 정확한 시뮬레이션을 위해 완전한 수심 보정 항의 필수성을 입증한다.

제안 방법

• 수심 효과를 포함한 분산성 Serre-Green-Naghdi 방정식을 제약 조건이 있는 1차 초순환 시스템으로 재구성한다.
• 제약 조건을 초순환 재구성 시스템으로 대체함으로써 명시적 시간 적분이 가능하도록 하는 재구성 기법을 도입한다.
• 전역 에너지 보존 법칙과의 호환성을 유지하기 위해 추가적인 보존 방정식을 도입하고, 소스 항을 수정한다.
• P1 유한요소 방법을 사용하여 공간 이산화를 수행함으로써, 양수성과 잘 균형 잡힘 성질을 보장한다.
• 재구성 매개수를 국소 메쉬 크기와 비례하도록 설정하여 재구성 매개수에 대해 1차 수렴률을 달성한다.
• 벽 경계 조건을 구현하고, 시간 적분에 대해 C那就是 수치를 0.25로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 수심 효과를 고려한 분산성 Serre-Green-Naghdi 방정식에 대해 초순환 재구성 기법을 개발하여 명시적 시간 적분이 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 수심 보정 항을 무시한 모델과 비교했을 때, 수심 보정 항은 파도 반사 및 침입 시뮬레이션의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 재구성 방법은 잘 균형 잡힘, 양수성, 에너지 보존과 같은 핵심 물리적 성질을 유지하는가?
• RQ4 재구성된 시스템이 재구성 매개수에 대해 기대하는 1차 수렴률로 원래 Serre 모델로 수렴하는가?
• RQ5 수치 모델은 고체 원뿔형 섬과 초과 흐름이 발생하는 배 모양의 구조물에서의 단일 파동 침입 실험 데이터를 얼마나 잘 재현하는가?

주요 결과

• 초순환 재구성 기법은 완전한 수심 효과를 고려한 분산성 Serre-Green-Naghdi 방정식에 대해 암시적 해법이 필요 없이 명시적 시간 적분을 가능하게 한다.
• 재구성 매개수가 국소 메쉬 크기와 비례할 경우, 수치적 시뮬레이션은 원래 모델에 대해 1차 수렴률을 보인다.
• 건조 상태 및 복잡한 수심 조건에서도 잘 균형 잡힘, 양수성, 에너지 보존 성질을 유지한다.
• 1차원의 바 초과 흐름(SH 및 SL 실험)과 2차원의 원형 섬 위에서의 단일 파동 침입에 대해 실험 데이터와 뛰어난 일치를 보인다.
• 완전한 수심 보정 항을 생략할 경우, 특히 파도 반사 및 침입의 크기 측면에서 실험 결과와의 일치도가 떨어진다.
• 비어 있는 수심 조건이 존재하는 1차원 시스템에 대한 제안된 해석적 해는 코드 검증을 위한 엄밀하고, 제조되지 않은 기준이 된다.