[論文レビュー] Instability of the solitary wave solutions for the genenalized derivative Nonlinear Schrödinger equation in the critical frequency case

Zihua Guo, Cui Ning+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

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ひとこと要約

本稿は、一般化された導関数非線形シュレーディンガー方程式の孤立波解の軌道的不安定性を、臨界周波数境界 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ において $ 1 < \sigma < 2 $ の範囲で確立する。スペクトル解析と変分法を用いて、境界ケースにおける不安定性を証明し、従来の $ \sigma > 3/2 $ の場合に限られていた結果を、$ 1 < \sigma < 2 $ の全範囲へと拡張することで、この方程式族の安定性理論における空白を埋めることに成功した。

ABSTRACT

We study the stability theory of solitary wave solutions for the generalized derivative nonlinear Schrödinger equation $$ i\partial_{t}u+\partial_{x}^{2}u+i|u|^{2σ}\partial_x u=0. $$ The equation has a two-parameter family of solitary wave solutions of the form \begin{align*} ϕ_{ω,c}(x)=φ_{ω,c}(x)\exp{\big\{ i\frac c2 x-\frac{i}{2σ+2}\int_{-\infty}^{x}φ^{2σ}_{ω,c}(y)dy\big\}}. \end{align*} Here $ φ_{ω,c}$ is some real-valued function. It was proved in \cite{LiSiSu1} that the solitary wave solutions are stable if $-2\sqrt{ω}

研究の動機と目的

• 一般化された導関数非線形シュレーディンガー方程式の臨界周波数境界 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ における孤立波解の安定性状態を解明すること。
• 従来の $ \sigma > 3/2 $ の範囲に限られていた不安定性結果を、$ 1 < \sigma < 2 $ の全範囲へと拡張し、既存の安定性理論における空白を埋めること。
• 従来の手法が退化する第二変分の特異性に起因する失敗が生じる境界において、孤立波の不安定性を確立すること。
• 臨界周波数における孤立波周りの線形化作用素に対する厳密なスペクトル解析を提供し、不安定固有値の存在を確認すること。

提案手法

• 周波数 $ \omega $ および速度 $ c $ でパrameter化された孤立波解の変分的構造を用い、作用関数の第二変分を解析する。
• 濃縮・compact性の原理およびスペクトル論を用いて、$ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ における孤立波周りの線形化作用素を研究する。ここで $ z_0 \in (0,1) $ は $ F_\sigma(z_0) = 0 $ を満たす。
• 運動量と質量の保存則を用いて、$ \partial_\omega M $、$ \partial_c P $、および $ \partial_\omega P $ を含む恒等式を導出し、それらを用いて比 $ \mu/\nu = \sqrt{\omega} $ を計算する。
• 質量および運動量の $ \omega $ および $ c $ に関する第二導関数の明示的表現を導出し、それらを用いて作用関数のヘッセ行列を計算する。
• ヘッセ行列に関連する二次形式の符号を解析し、臨界条件のもとで負定値であることを示し、グリルラキス・シャタフ・ストラウスの不安定性基準に従って不安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 1 < \sigma < 2 $ の範囲で、従来の結果が不確かであった臨界周波数 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ における孤立波解は不安定であるか？
• RQ2 臨界周波数における作用関数の第二変分の挙動は何か？ そして、それが不安定性を示唆するか？
• RQ3 臨界周波数 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ における質量および運動量の導関数の振る舞いは何か？ そして、これにより安定性分類にどのような意味が生じるか？
• RQ4 線形化作用素にゼロ固有値を持つ境界ケースにおいて、グリルラキス・シャタフ・ストラウスの不安定性基準を適用可能か？
• RQ5 パラメータ $ z_0 \in (0,1) $ は、$ 1 < \sigma < 2 $ の範囲における安定性境界を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 孤立波解は、$ 1 < \sigma < 2 $ の範囲で臨界周波数 $ c = 2z_0\sqrt{\omega} $ において軌道的に不安定であり、$ \sigma > 3/2 $ の範囲を超えて不安定性結果が拡張された。
• 臨界周波数における作用関数の第二変分は負定値であり、標準的な不安定性基準に従って不安定性が確認された。
• 運動量 $ P(\phi_{\omega,c}) $ は正であり、$ P(\phi_{\omega,c}) = (\sigma - 1)\sqrt{\omega} M(\phi_{\omega,c}) $ を満たす。これは不安定領域と整合的である。
• 比 $ \mu/\nu = \sqrt{\omega} $ は質量および運動量の導関数から導出され、作用関数のヘッセ行列の計算に用いられた。
• 第二導関数 $ \partial_{\omega\omega}M $、$ \partial_{\omega c}P $、および $ \partial_{cc}P $ は明示的に計算され、それらの組み合わせにより負定値の二次形式が得られた。
• 二次形式 $ \mu^2 \partial_{\omega\omega}P + 2\mu\nu \partial_{\omega c}P + \nu^2 \partial_{cc}P $ が負であることを示し、接空間内に負エネルギー方向が存在することを確認することで、不安定性が裏付けられた。