[論文レビュー] Introduction to Linear Bialgebra

W. B. Vasantha Kandasamy, Florentín Smarandache+1 more|ArXiv.org|Aug 15, 2005

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 37被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、二つのベクトル空間を双対的演算で組み合わせることで従来の線形代数を拡張する、線形双代数（linear bialgebra）という新しい代数的構造を導入する。この構造は、二重符号（bicodes）や双群（bigroup）の表現への応用を可能にする。基礎的性質、双群の双表現（birepresentations）、および中性ソフィスティック的構造への拡張を提示し、符号理論や現実世界の応用における複雑なシステムのモデリングに新たなツールを提供する。

ABSTRACT

The algebraic structure, linear algebra happens to be one of the subjects which yields itself to applications to several fields like coding or communication theory, Markov chains, representation of groups and graphs, Leontief economic models and so on. This book has for the first time, introduced a new algebraic structure called linear bialgebra, which is also a very powerful algebraic tool that can yield itself to applications. With the recent introduction of bimatrices (2005)we have ventured in this book to introduce new concepts like linear bialgebra and Smarandache neutrosophic linear bialgebra and also give the applications of these algebraic structures. It is important to mention here it is a matter of simple exercise to extend these to linear n-algebra for any n greater than 2; for n = 2 we get the linear bialgebra. This book has five chapters. In the first chapter we just introduce some basic notions of linear algebra and Slinear algebra and their applications. Chapter two introduces some new algebraic bistructures. In chapter three we introduce the notion of linear bialgebra and discuss several interesting properties about them. Also, application of linear bialgebra to bicodes is given. A remarkable part of our research in this book is the introduction of the notion of birepresentation of bigroups. The fourth chapter introduces several neutrosophic algebraic structures since they help in defining the new concept of neutrosophic linear bialgebra, neutrosophic bivector spaces, Smarandache neutrosophic linear bialgebra and Smarandache neutrosophic bivector spaces. Theirprobable applications to real-world models are discussed.

研究の動機と目的

• 二つの線形代数的系を統合する単一の整合的代数的構造として線形双代数を導入すること。
• 線形代数の応用を二重行列および二重符号系へ拡張すること。
• 双群の双表現（birepresentations）を定義し、代数的対称性の構造的解析を可能にすること。
• 不確実性を扱うために、双代数への中性ソフィスティック的拡張を開発すること。
• n > 2 に対する一般化を可能にする n-線形代数への基盤を提供すること。n=2 の場合が双代数のケースである。

提案手法

• 二重行列による二重構造（bistructures）を導入し、双代数構築の基盤を形成する。
• 線形双代数を、同一の体上にある二つのベクトル空間と、互換性のある演算のペアとして定義する。
• 二重符号への双代数の応用を、誤検出および誤り訂正のための二重符号構造を用いて行う。
• 双代数的演算を用いて、双群の双表現理論を構築する。
• 不確実な要素を含む中性ソフィスティック的二重ベクトル空間およびスマルンダーシュ中性ソフィスティック的線形双代数を導入する。
• 構造的性質および応用を説明するために、150の例題と114の演習問題を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの独立した線形代数的系を、単一の整合的代数的構造に統合する方法は何か？
• RQ2 線形双代数およびその部分構造の構造的および操作的性質は何か？
• RQ3 双群の双表現はどのように定義され、代数的モデリングに応用されるか？
• RQ4 中性ソフィスティック論理は、不確実性を扱うために双代数的システムをどのように強化するか？
• RQ5 線形双代数は符号理論および現実世界のシステムにおいて、どのような実用的応用を持つのか？

主な発見

• 線形双代数は、同一の体上の二つのベクトル空間と、互換性のある演算のペアとして正式に定義され、二重代数的操作を可能にする。
• 双群の双表現の概念が導入され、二重構造系における対称性の分析を可能にするフレームワークが提供される。
• 線形双代数を二重符号に応用する例が提示され、符号システムにおける誤検出の改善可能性が示される。
• 不確実および不整合なデータをモデリングするため、中性ソフィスティック的拡張（Smarandache neutrosophic linear bialgebra を含む）が定義される。
• このフレームワークにより、任意の n ≥ 2 に対する n-線形代数への一般化が可能となり、n=2 の場合が線形双代数構造を与える。
• 本書は、理論的構造の検証および説明を目的とした 150 件の例題と 114 件の演習問題を提供する。