[论文解读] Inverse Boundary Value Problem by Partial data for the Neumann-to-Dirichlet-map in two dimensions

Oleg Imanuvilov, Günther Uhlmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文建立了从任意相对开子集 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ 上的局部诺伊曼-狄利克雷数据，对二维薛定谔势 $ q \in W^{1}_{p}(\Omega) $，$ p>2 $ 的唯一恢复性。通过复几何光学解和振荡积分的渐近分析，作者证明了在 $ \widetilde{\Gamma} $ 上的诺伊曼-狄利克雷映射唯一确定 $ q $，将结果推广至更低正则性的势函数和部分数据情形。

ABSTRACT

For the two dimensional Schrödinger equation in a bounded domain, we prove uniqueness of determination of potentials in $W^1_p(Ω),\,\, p>2$ in the case where we apply all possible Neumann data supported on an arbitrarily non-empty open set $\widetildeΓ$ of the boundary and observe the corresponding Dirichlet data on $\widetildeΓ$. An immediate consequence is that one can uniquely determine a conductivity in $W^3_p(Ω)$ with $p>2$ by measuring the voltage on an open subset of the boundary corresponding to current supported in the same set.

研究动机与目标

• 在仅获得边界子集 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ 上的局部诺伊曼数据时，建立二维薛定谔方程逆边界值问题的唯一性。
• 将唯一性结果推广至 $ W^{1}_{p}(\Omega) $ 类势函数，其中 $ p>2 $，改进了以往要求更高正则性的结果。
• 证明在边界子集 $ \widetilde{\Gamma} $ 上的诺伊曼-狄利克雷映射唯一确定势函数 $ q $，即使数据被限制在相同的边界子集上。
• 通过在最小正则性假设下证明唯一性，为电导率断层扫描（EIT）中有限电极测量提供理论基础。

提出的方法

• 构造满足特定复特征方程的相位函数的薛定谔方程的复几何光学（CGO）解。
• 利用参数 $ \tau \to \infty $ 的渐近展开，分析涉及势函数 $ q $ 和 CGO 解的振荡积分。
• 应用驻定相位法与分部积分，通过光滑函数逼近低正则性势函数来处理低正则性问题。
• 推导涉及势函数 $ q $、CGO 解及其扰动的积分恒等式，导出 $ L^2 $-正交性条件。
• 利用边界积分估计与振荡项在 $ \widetilde{\Gamma} $ 上的衰减性质，消除渐近展开中的低阶项。
• 反证法证明：假设两个势函数 $ q_1 \neq q_2 $ 在 $ \widetilde{\Gamma} $ 上产生相同的诺伊曼-狄利克雷映射，则推出 $ q \equiv 0 $，从而证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从任意相对开子集 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ 上受限的诺伊曼-狄利克雷映射，唯一确定 $ q \in W^{1}_{p}(\Omega) $，$ p>2 $ 的势函数？
• RQ2 唯一性结果是否适用于低于 $ C^2 $ 正则性的势函数，特别是 $ W^{1}_{p} $ 类中 $ p>2 $ 的情形？
• RQ3 是否可能仅通过部分数据唯一恢复势函数，其中诺伊曼输入与狄利克雷输出均限制在相同的子集 $ \widetilde{\Gamma} $ 上？
• RQ4 能否控制涉及低正则性势函数的振荡积分的渐近行为，以在反问题中推导出唯一性？

主要发现

• 在任意相对开子集 $ \widetilde{\Gamma} \subset \partial\Omega $ 上的诺伊曼-狄利克雷映射 $ N_{q,\widetilde{\Gamma}} $ 唯一确定 $ W^{1}_{p}(\Omega) $ 中的势函数 $ q $，其中 $ p>2 $。
• 证明表明，若两个势函数 $ q_1 $ 与 $ q_2 $ 在 $ \widetilde{\Gamma} $ 上产生相同的诺伊曼-狄利克雷映射，则几乎处处有 $ q_1 = q_2 $ 于 $ \Omega $。
• 该方法允许从部分数据中恢复势函数，其中电流注入（诺伊曼数据）与电压测量（狄利克雷数据）均被限制在相同的边界子集上。
• 该结果意味着在相同部分数据假设下，对 $ W^{3}_{p}(\Omega) $ 中的电导率，反电导率问题具有唯一性。
• 结合 $ q $ 的光滑逼近与振荡积分的渐近分析，使唯一性结果得以推广至早先未知的更低正则性类。
• 关键步骤在于证明：积分 $ \int_{\Omega} q u_1 v \, dx $ 的渐近展开中，首阶项仅在 $ q(\widetilde{x}) = 0 $ 时消失，从而推出 $ q \equiv 0 $，最终得到唯一性。