[論文レビュー] Irreducible laminations for IWIP Automorphisms of free products and Centralisers

Dionysios Syrigos|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自由積 $ G = G_1 \ast \cdots \ast G_q \ast F_r $ の文脈において、無還元的かつ冪無還元的（IWIP）自己同型の安定リーマンと中心化子の理論を一般化する。安定リーマンの安定化子は、ほとんどすべての自己同型の部分群の無限的循環拡張であることが示され、$ \operatorname{Out}(G_i) $ に有限性条件が成り立つとき、IWIP自己同型の中心化子はほとんどすべての循環である。この結果は、非自明な自由因子を含む相対的設定において、$ \operatorname{Out}(F_n) $ の古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

For every free product decomposition $G = G_{1} \ast ...\ast G_{q} \ast F_{r}$, where $F_r$ is a finitely generated free group, of a group $G$ of finite Kurosh rank, we can associate some (relative) outer space $\mathcal{O}$. In this paper, we develop the theory of (stable) laminations for (relative) irreducible with irreducible powers (IWIP) automorphisms. In particular, we examine the action of $Out(G, \mathcal{O}) \leq Out(G)$ (i.e. the automorphisms which preserve the set of conjugacy classes of $G_i$'s) on the set of laminations. We generalise the theory of the attractive laminations associated to automorphisms of finitely generated free groups. The strategy is the same as in the classical case (see \cite{BFM}), but some statements are slightly different because of the existence of the $G_i$'s. More precisely, we prove that the stabiliser of the lamination of a relative IWIP is a $\mathbb{Z}$-extension of a subgroup that is consisted of virtually elliptic automorphisms. Note that in the free case, virtually elliptic automorphisms are exactly the finite order automorphisms of $Out(F_n)$. As a corollary of the previous theorem, we generalise the fact that the centraliser of an IWIP automorphism of a free group, is virtually cyclic. As a direct corollary, if $Out(G)$ is virtually torsion free and every $Aut(G_i)$ is finite, we prove that the centraliser of an IWIP is virtually cyclic. Finally, we give an example which shows that we cannot expect that in general the centraliser of a relative IWIP (and as a consequence the stabiliser of its stable lamination) is virtually cyclic.

研究の動機と目的

• 自由積 $ G = G_1 \ast \cdots \ast G_q \ast F_r $ の自己同型における、安定リーマンと中心化子の理論を $ \operatorname{Out}(F_n) $ から拡張すること。
• 相対的IWIP自己同型における $ \operatorname{Out}(G, \mathcal{O}) $ のリーマンへの作用を定義し、研究すること。
• $ \operatorname{Out}(F_n) $ におけるIWIPの中心化子がほとんどすべての循環であるという古典的結果を、相対的自由積設定に一般化すること。
• 相対的IWIPの中心化子がほとんどすべての循環である条件を特定し、その条件が成り立たない場合の反例を構成すること。

提案手法

• 自由積分解 $ G = G_1 \ast \cdots \ast G_q \ast F_r $ に対応する相対的外部空間 $ \mathcal{O} $ を構成する。
• 古典的な列車軌道とリーマンの道具立てを相対的設定に適応し、自己同型によるパスへの反復作用を通じて安定および不安定リーマンを定義する。
• 有界キャンセレーション補題と相対的列車軌道写像を用いて、外部空間上の力学的挙動を解析し、パスの成長を追跡する。
• リーマンの安定化子を、各元が $ \mathcal{O} $ の点をほとんどすべて固定する部分群 $ A $ の無限的循環拡張として特徴付ける。
• 特に、ねじれ部分群と因子自己同型成分に分解することにより、中心化子の構造を群論的技法で解析する。
• $ G_1 $ の非自明な自己同型と可換な自己同型を用いて、相対的IWIPの中心化子がほとんどすべての循環でない反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由積 $ G $ におけるIWIP自己同型の中心化子 $ \operatorname{Stab}(\Lambda) \subset \operatorname{Out}(G) $ がほとんどすべての循環である条件は何か？
• RQ2 相対的外部空間 $ \mathcal{O} $ における安定リーマンの安定化子 $ \operatorname{Stab}(\Lambda) $ は、$ \operatorname{Out}(G, \mathcal{O}) $ の構造とどのように関係するか？
• RQ3 $ \operatorname{Out}(F_n) $ におけるほとんどすべての循環の中心化子に関する古典的結果を、非自明な自由因子を含む自由積設定に一般化できるか？
• RQ4 相対的IWIPの中心化子がほとんどすべての循環でない構造的障害は何か？
• RQ5 因子自己同型 $ \operatorname{Aut}(G_i) $ はIWIPとどの程度可換するか？ そして、中心化子構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 相対的IWIP自己同型の安定リーマン $ \Lambda $ の安定化子 $ \operatorname{Stab}(\Lambda) $ は、各元が相対的外部空間 $ \mathcal{O} $ の点をほとんどすべて固定する部分群 $ A $ の無限的循環拡張である。
• 各 $ \operatorname{Inn}(G_i) $ が有限であれば、$ \operatorname{Stab}(\Lambda) $ は正規ねじれ部分群 $ A $ を持ち、$ \operatorname{Stab}(\Lambda)/A $ は $ \bigoplus_{i=1}^q \operatorname{Out}(G_i) $ の部分群に同型な正規部分群をもち、その商群は $ \mathbb{Z} $ に同型である。
• $ \operatorname{Out}(G) $ がほとんどすべてのねじれ自由であれば、$ \operatorname{Stab}(\Lambda) $ は有限指数のねじれ自由部分群 $ K $ を持ち、$ K/B' \cong \mathbb{Z} $ となる。ここで $ B' $ は $ \bigoplus_{i=1}^q \operatorname{Out}(G_i) $ の部分群に同型である。
• 各 $ \operatorname{Aut}(G_i) $ が有限で、$ \operatorname{Out}(G) $ がほとんどすべてのねじれ自由であるという仮定の下で、相対的IWIP $ \phi $ の中心化子 $ C(\phi) $ はほとんどすべての無限的循環である。
• 反例として、$ G = G_1 \ast \langle a \rangle \ast \langle b \rangle $ とし、$ \phi $ を $ G_1 $ の自己同型群の大きな部分群と可換なIWIPとすると、$ \operatorname{Aut}(G_1) $ が無限大である場合、$ C(\phi) $ はほとんどすべての循環でないことが示される。
• 相対的IWIPの共役群はリーマンを安定化し、中心化子と同様の構造的結果が共役群に対しても成り立つ。