[論文レビュー] Irregular conformal block and its matrix model

Chaiho Rim|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、奇数次不規則特異点を有するArgyres-Douglas理論における不規則な conformal block (ICB) を計算するため、平方根ポテンシャルを有する新規ヘルミート行列モデルを導入する。これは従来の $\beta$-アンサンブルモデルでは到達できなかった。モデルはポテンシャルに $\sqrt{z}$ を含めることで原点に分岐カットを導入し、修正されたループ方程式を導出し、$n=2$（$D_3$理論）の場合の分配関数を明示的に計算した。これにより、指数関数的およびべき乗則的依存性を有する閉形式の結果を得て、奇数次ケースへの行列モデル手法の拡張に成功した。

ABSTRACT

Irregular conformal block is a new tool to study Argyres-Douglas theory, whose irregular vector is represented as a simultaneous eigenstate of a set of positive Virasoro generators. One way to find the irregular conformal block is to use the partition function of the β-ensemble of hermitian matrix model. So far the method is limited to the case of irregular singularity of even degree. In this letter, we present a new matrix model for the case of odd degree and calculate its partition function. The model is different from the previous one in that its potential has additional factor of square root of matrix.

研究の動機と目的

• 奇数次不規則特異点を有する不規則な conformal block に対する行列モデル手法を拡張し、従来の $\beta$-アンサンブル手法では到達できなかった状況をカバーする。
• 奇数次極に対応する分岐構造を表現するため、$\sqrt{z}$ を含むポテンシャルを持つ新規ヘルミート行列モデルを構築する。
• 平方根項によって生じる非正則な振る舞いを考慮した、この新規行列モデルのループ方程式を導出する。
• $n=2$ の場合（$D_3$理論）における $\hbar$ の最低次の分配関数を計算し、最初の奇数次ケースに対して定量的解を得る。
• より高い $n$ への一般化を試み、$O(n)$ 行列モデルや Seiberg-Witten 曲線との関係を検討する。

提案手法

• ポテンシャル $V(z) = \alpha \log z - \sum_{s \in S} \frac{c_s}{s z^s}$ を用いて行列モデルを定義し、$S = \{1/2, 3/2, \dots, n-1/2\}$ により $\sqrt{z}$ をポテンシャルに組み込むことで原点に分岐カットを導入する。
• ループ方程式を導出するために再生関数 $W(z)$ を導入し、$G(z) = 2W(z) + V'(z)$ を用いて分岐カット $\Gamma$ を超えた不連続性を記述する。
• ループ方程式は $f(z) = 4W^2 + 4V'W + 2\hbar Q W' - \hbar^2 W(z,z)$ の形を取り、$f(z)$ には量子補正項と平方根構造に由来する新たな解析関数 $\tau(z)$ を含む。
• $f(z)$ の係数は明示的に $f(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{d_k}{z^{2+k}} + 4 \frac{V_o'(z)}{\sqrt{z}} \tau(z)$ と計算され、$d_k = v_k(-\hbar^2 \log Z_M)$ および $v_k = \sum_s s c_{s+k} \frac{\partial}{\partial c_s}$ で与えられる。
• $n=2$ における分配関数を $\hbar$ の最低次の項で計算し、$Z_M \sim \exp\left(-\frac{2c_{3/2}(bN + \hat{\alpha})^4 \hbar^2}{3c_{1/2}^3}\right)$ を得た。ここで $\hat{\alpha} = \alpha / \hbar$ であり、結合定数に指数的およびべき乗則的依存性が明示的に現れる。
• 解をより高い $n$ に一般化する際には、$\varphi_2(z) = P_{2n-1}(z)/z^{2n+1}$ を仮定し、多項式の零点による $2(n-1)$ 個の分岐点と、留数条件によって固定される正則関数を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $\beta$-アンサンブル手法ではカバーできない奇数次不規則特異点を有する不規則な conformal block を記述する行列モデルは、どのように構築できるか？
• RQ2 平方根依存性を有するポテンシャルの導入により、行列モデルにおけるループ方程式および再生関数構造にどのような変更が生じるか？
• RQ3 $n=2$ の場合（$D_3$理論）における奇数次不規則特異点を有する分配関数の明示的形は何か？
• RQ4 充填分数と正則構造は、奇数次ケースにおけるループ方程式の解にどのような制約を課えるか？
• RQ5 新規行列モデルは、$O(n)$ 行列モデルや Seiberg-Witten 曲線といった既知のモデルと関連づけられるか？

主な発見

• 本稿では、奇数次不規則特異点の分岐構造を捉えるために $\sqrt{z}$ 依存性を持つポテンシャルを有する新規行列モデルを成功裏に構築した。
• ループ方程式は、$\tau(z) = \frac{\hbar b}{2} \sum_I \left\langle \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{\lambda_I}} \right\rangle$ という、平方根ポテンシャルに由来する新たな不連続な解析関数によって修正される。
• $n=2$ の場合（$D_3$理論）において、$\hbar$ の最低次の分配関数は $Z_M \sim \exp\left(-\frac{2c_{3/2}(bN + \hat{\alpha})^4 \hbar^2}{3c_{1/2}^3}\right)$ と計算され、結合定数および $N$ に明示的な依存性を示した。
• $f(z)$ の $1/z^2$ 項から $d_0$ が固定され、より高い $d_k$ 係数は $\oint_{\Lambda_k} W(z) \frac{dz}{\pi i} = \hbar b N_k$（$\sum N_k = N$）という充填分数によって決定される。
• 解構造は、$\varphi_2(z) = P_{2n-1}(z)/z^{2n+1}$ を仮定することでより高い $n$ に一般化され、多項式 $P_{2n-1}(z)$ の $2(n-1)$ 個の零点が分岐点を提供する。
• $\beta = 1$ のとき、モデルは $n = -2$ の $O(n)$ 行列モデルに還元され、ランダム行列理論および $O(n)$ モデルとの深い関係を示唆する。