[论文解读] $L^p$-$L^q$ multipliers on locally compact groups

Rauan Akylzhanov, Michael Ruzhansky|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 52被引用 10

一句话总结

本文通过在群冯诺依曼代数中进行分析并引入非交换 Lorentz 空间，建立了广义局部紧、可分、单群上的傅里叶与谱乘子的 $L^p$-$L^q$ 乘子定理。研究证明了 $1 < p \leq q < \infty$ 情形下的 Lizorkin 型定理，以及 $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ 情形下经改进的 Hörmander 型定理，从而得出关于热核时间渐近性与嵌入定理的新结果，并应用于紧致李群与海森堡群上的次拉普拉斯算子。

ABSTRACT

In this paper we discuss the $L^p$-$L^q$ boundedness of both spectral and Fourier multipliers on general locally compact separable unimodular groups $G$ for the range $1

研究动机与目标

• 建立广义局部紧、可分、单群上傅里叶与谱乘子的 $L^p$-$L^q$ 有界性准则。
• 将 Hörmander 与 Lizorkin 等经典乘子定理推广至 $\mathbb{R}^n$ 之外的非欧几里得设定。
• 推导正无界不变算子相关热核的 $L^p$-$L^q$ 范数的时间渐近性与嵌入定理。
• 统一并拓展现有关于紧致李群、海森堡群及其他非交换群的 $L^p$-乘子结果。
• 基于群冯诺依曼代数中的非交换 Lorentz 空间，为非交换群上的乘子理论建立新框架。

提出的方法

• 在广义局部紧、可分、单群上推导 Paley、Nikolsky 与 Hausdorff-Young-Paley 不等式。
• 利用群冯诺依曼代数通过非交换 Lorentz 空间分析乘子，实现向非交换设定的推广。
• 在符号满足正则性条件的前提下，建立 $1 < p \leq q < \infty$ 情形下的 Lizorkin 型乘子定理。
• 通过 Lorentz 空间技术，将结果改进为 $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ 情形下的 Hörmander 型乘子定理。
• 将 Hörmander 型定理应用于推导一般单群上的谱乘子定理。
• 利用谱乘子结果，获得正不变算子热核的 $L^p$-$L^q$ 范数的时间渐近性与嵌入定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hörmander 型 $L^p$-$L^q$ 乘子定理能否从 $\mathbb{R}^n$ 推广至广义局部紧、可分、单群？
• RQ2 傅里叶与谱乘子在非交换群上 $L^p$-$L^q$ 有界的充要条件是什么？
• RQ3 如何利用群冯诺依曼代数中的非交换 Lorentz 空间在非欧几里得设定下推导乘子定理？
• RQ4 正无界不变算子在这些群上的热核的 $L^p$-$L^q$ 时间渐近性如何？
• RQ5 新乘子定理是否能恢复或推广紧致李群与海森堡群上次拉普拉斯算子的已知结果？

主要发现

• 在广义局部紧、可分、单群上，建立了 $1 < p \leq q < \infty$ 情形下的 Lizorkin 型 $L^p$-$L^q$ 乘子定理。
• 证明了 $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ 情形下的 Hörmander 型 $L^p$-$L^q$ 乘子定理，仅需符号满足弱 $L^{p,q}$-型条件。
• 由 Hörmander 结果导出的谱乘子定理，给出了正无界不变算子相关热核的 $L^p$-$L^q$ 范数的时间渐近性。
• 对于海森堡群 $\mathbb{H}^n$，谱投影迹满足 $\tau(E_{(0,s)}(\mathcal{L})) = C_n s^{(Q/2)}$，其中 $Q = 2n+2$ 为齐次维数。
• 结果恢复并推广了 $\mathbb{R}^n$、紧致李群与海森堡群上的已知 $L^p$-$L^q$ 乘子定理。
• 作为乘子定理的应用，推导出演化 PDE 的嵌入定理与色散估计。