[論文レビュー] L2-theory for the dbar-operator on compact complex spaces

Jean Ruppenthal|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

本稿は特異な複素空間上の $¯\partial$-作用素の $L^2$-理論を、特異点の解消と正則層の $L^2$-解体を用いて確立する。$(n,q)$-形式および $(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの滑らかな表現を提供し、ほぼ正の線分束値の $L^2$-コホロロジーに対するガウエルト＝ライマンシュトラス型の消滅定理を証明するとともに、特異点でディリクレ型境界条件を満たす $L^2$-正則 $n$-形式の新しい正則層を導入する。

ABSTRACT

Let $X$ be a singular Hermitian complex space of pure dimension $n$. We use a resolution of singularities to give a smooth representation of the $L^2$-$\overline\partial$-cohomology of $(n,q)$-forms on $X$. The central tool is an $L^2$-resolution for the Grauert-Riemenschneider canonical sheaf $\mathcal{K}_X$. As an application, we obtain a Grauert-Riemenschneider-type vanishing theorem for forms with values in almost positive line bundles. If $X$ is a Gorenstein space with canonical singularities, then we get also an $L^2$-representation of the flabby cohomology of the structure sheaf $\mathcal{O}_X$. To understand also the $L^2$-$\overline\partial$-cohomology of $(0,q)$-forms on $X$, we introduce a new kind of canonical sheaf, namely the canonical sheaf of square-integrable holomorphic $n$-forms with some (Dirichlet) boundary condition at the singular set of $X$. If $X$ has only isolated singularities, then we use an $L^2$-resolution for that sheaf and a resolution of singularities to give a smooth representation of the $L^2$-$\overline\partial$-cohomology of $(0,q)$-forms.

研究の動機と目的

• コンパクトな特異的複素空間にケーリー計量を備えた $\u00af\partial$-作用素の $L^2$-コホロロジー理論を構築すること。
• 特異空間上での $(n,q)$-形式および $(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの滑らかな表現が不足しているという問題に取り組むこと。
• ガウエルト＝ライマンシュトラスの消滅定理を、ほぼ正の線分束値の $L^2$-コホロロジーへと拡張すること。
• 特異点集合でディリクレ型境界条件を満たす $L^2$-正則 $n$-形式の新しい正則層を導入し、その分析を行うこと。
• 特異点が孤立している空間に対して、$L^2$-解体と特異点の解消を用いて、$(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの滑らかな表現を提供すること。

提案手法

• 特異点の解消を用いて、特異空間 $X$ 上の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジー問題を滑らかな周囲空間に持ち上げること。
• ガウエルト＝ライマンシュトラスの正則層 $\mathcal{K}_X$ に対する $L^2$-解体を構成し、$(n,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーを分析すること。
• 特異点集合でディリクレ境界条件を満たす $L^2$-正則 $n$-形式からなる新しい正則層を導入すること。
• この新しい正則層に対する $L^2$-解体を適用し、$(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーを研究すること。
• 特異点の解消を用いてコホロロジー的データを転送し、得られる表現の滑らかさを保証すること。
• ゴレンシュタインおよび正則特異点の仮定を活用し、$\mathcal{O}_X$ の $L^2$-コホロロジーを構造層のフレアコホロロジーと関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異なヘルミート複素空間上での $(n,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーは、特異点の解消と $L^2$-解体を用いてどのように滑らかに表現できるか？
• RQ2 ガウエルト＝ライマンシュトラスの正則層は、$L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの $L^2$-表現を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 特異点でディリクレ境界条件を満たす $L^2$-正則 $n$-形式の新しい正則層は、$(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの滑らかな表現を提供できるか？
• RQ4 ゴレンシュタイン空間で正則特異点を有する空間上での $(0,q)$-形式の $L^2$-コホロロジーは、$L^2$-解体と特異点の解消を用いて滑らかに表現可能か？
• RQ5 ガウエルト＝ライマンシュトラス型の消滅定理は、ほぼ正の線分束値の $L^2$-コホロロジーへどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• ガウエルト＝ライマンシュトラスの正則層 $\mathcal{K}_X$ に対する $L^2$-解体が、特異複素空間上での $(n,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの滑らかな表現を可能にする。
• 本稿は、ほぼ正の線分束値の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーに対するガウエルト＝ライマンシュトラス型の消滅定理を確立する。
• ゴレンシュタイン空間で正則特異点を有する空間に対して、構造層 $\mathcal{O}_X$ の $L^2$-コホロロジーは、$\mathcal{O}_X$ のフレアコホロロジーを介して滑らかに表現される。
• $(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーを研究するために、特異点集合でディリクレ境界条件を満たす $L^2$-正則 $n$-形式の新しい正則層が導入される。
• 孤立特異点を有する空間では、この新しい正則層の $L^2$-解体に加え、特異点の解消を組み合わせることで、$(0,q)$-形式の $L^2$-$\u00af\partial$-コホロロジーの滑らかな表現が得られる。
• 本手法は、特異複素空間への古典的 $L^2$-コホロロジー理論の拡張に成功しており、特異点の解消技術と $L^2$-解析的道具を組み合わせることで実現された。