[论文解读] Limit theorems with rate of convergence under sublinear expectations

Xiao Fang, Shigē Péng+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2017

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文在子线性期望下建立了新的大数定律与中心极限定理，通过 Stein 方法与 G-正态分布逼近，给出了明确的收敛速率。关键贡献在于量化了在模型不确定性下的分布极限收敛速度，将经典极限定理扩展至非线性期望框架，具有稳健的统计意义。

ABSTRACT

Under the sublinear expectation $\mathbb{E}[\cdot]:=\sup_{θ\in Θ} E_θ[\cdot]$ for a given set of linear expectations $\{E_θ: θ\in Θ\}$, we establish a new law of large numbers and a new central limit theorem with rate of convergence. We present some interesting special cases and discuss a related statistical inference problem. We also give an approximation and a representation of the $G$-normal distribution, which was used as the limit in Peng (2007)'s central limit theorem, in a probability space.

研究动机与目标

• 将经典的极限定理——大数定律与中心极限定理——扩展至建模模型不确定性的子线性期望框架。
• 在子线性期望下推导这些极限定理的显式收敛速率，超越弱收敛结果。
• 在概率空间中提供 G-正态分布的严格逼近与表示，以实现 Peng 中心极限定理的实际应用。
• 通过建立经验均值与归一化和的收敛速率，解决在分布模糊性下的统计推断问题。
• 通过具有量化收敛行为的非线性期望框架，统一分析随机模型中的不确定性。

提出的方法

• 使用 Stein 方法，推导归一化和的分布与极限 G-正态分布之间距离的界。
• 构造具有时间依赖波动率的扩散过程序列，以逼近 G-正态分布并控制误差项。
• 应用 Aleksandrov-Bakel’man-Pucci-Krylov 最大值原理，控制具有扰动波动率系数的 G-热方程解之间的差异。
• 采用光滑化方法，用 L² 空间中的光滑函数 σn 逼近波动率函数 σφ(t,x)，确保 PDE 解的收敛性。
• 依赖 G-热方程 ∂tu − ½G(∂²xxu) = 0 的粘性解作为极限分布对象，其中 G(α) = ½(σ̄²α⁺ − σ̲²α⁻)。
• 通过涉及具有 G-正态分布的 i.i.d. 随机变量的耦合论证，建立子线性期望下期望与参考子线性期望下期望的等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当均值模糊时，子线性期望下大数定律的收敛速率是多少？
• RQ2 在子线性期望下，i.i.d. 随机变量的归一化和以多快的速度收敛到 G-正态分布？
• RQ3 G-正态分布能否在标准概率空间中被逼近与表示，以实现实际的统计推断？
• RQ4 Stein 方法在多大程度上可适应非线性期望，以提供分布收敛的定量界？
• RQ5 收敛界如何依赖于底层随机变量的矩以及波动率范围 [σ̲, σ̄]？

主要发现

• 本文在子线性期望下建立了新的大数定律，对利普希茨函数的收敛速率为 O(1/√n)，优于 Peng (2010) 的弱收敛结果。
• 推导出收敛速率为 O(1/√n 的中心极限定理，表明归一化和以该速率收敛到 G-正态分布，且通过 Stein 方法给出了显式界。
• G-正态分布被表示为具有随机波动率的扩散过程序列的弱极限，其分布通过光滑波动率函数序列在概率空间中被逼近。
• G-热方程的解被用于表征极限分布，且在波动率系数扰动下，通过最大值原理证明了解的收敛性。
• 结果表明收敛速率依赖于真实与近似波动率函数之间 L² 范数的差异，且当逼近的光滑性提高时误差衰减。
• 本结果通过提供定量界，将经典极限定理扩展至模型不确定性，实现了在模糊分布下的稳健统计推断。