[論文レビュー] Liouville Quantum Gravity and Polyakov's formulation of $2d$ string theory in genus $g\geq 2$

Colin Guillarmou, Rémi Rhodes+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ガウス型乗法的混沌（Gaussian multiplicative chaos）を用いて、種数 $g \geq 2$ の曲面上のリーマン面におけるリウヴィル量子場理論（LQFT）の分配関数を定義し、中心電荷 $c \geq 25$ の共形場理論を確立する。リーマン面のモジュライ空間に渡り統合することでリーマン面の量子重力（LQG）の分配関数を構成し、$c > 25$ で可積分性を証明し、種数 $g = 2$ で $c = 25$ の場合に収束を示した。これにより、双曲的曲面上のポリアコフの $2d$ ストリング理論に数学的基盤を与えた。

ABSTRACT

We define the partition function of Liouville quantum field theory (LQFT) on surfaces of genus ${\bf g}\geq 2$ by using the theory of Gaussian multiplicative chaos. Such a construction produces a conformal field theory with central charge ${\bf c}\geq 25$, which depends on the conformal class of the background metric put on the surface. This construction is used to define the Liouville quantum gravity (LQG) partition function by coupling LQFT with a matter field theory and by integrating over the space of conformal structures, i.e moduli space. We analyze the behaviour of the LQFT partition function at the boundary of the compactification of moduli space and we show integrability of the LQG partition function over moduli space when ${\bf c}>25$. For ${\bf c}=25$ (the critical value of the theory), the analysis becomes particularly interesting as it gives a mathematical sense to Polyakov's partition function for (bosonic) $2d$ string theory on hyperbolic surfaces. In this case, we prove convergence of the integral over moduli space for genus ${\bf g}=2$

研究の動機と目的

• 種数 $g \geq 2$ のリーマン面におけるリウヴィル量子場理論（LQFT）の分配関数を、ガウス型乗法的混沌の枠組みを用いて定義すること。
• LQFT を物質理論と結合し、リーマン面のモジュライ空間に渡って統合することで、リーマン面の量子重力（LQG）の分配関数を構成すること。
• コンパクト化されたモジュライ空間の境界における LQFT 分配関数の振る舞いを分析すること。
• 中心電荷 $c > 25$ の場合に LQG 分配関数がモジュライ空間上で可積分であることを確立し、種数 $g = 2$ の臨界値 $c = 25$ で収束を証明すること。
• 双曲的曲面上の $2d$ ストリング理論におけるポリアコフの分配関数を、$c = 25$ で厳密な数学的解釈を与えること。

提案手法

• 種数 $g \geq 2$ の曲面上で、ガウス型乗法的混沌を用いて LQFT 分配関数を構成し、中心電荷 $c \geq 25$ の共形場理論を導出する。
• 構成はバックグラウンド計量の共形類に依存し、得られる理論の共形不変性を保証する。
• LQG 分配関数は、LQFT を物質場理論と結合し、種数 $g \geq 2$ のリーマン面のモジュライ空間に渡って統合することで得られる。
• コンパクト化されたモジュライ空間の境界における LQFT 分配関数の振る舞いは、モジュライ空間のコンパクト化技術を用いて分析される。
• LQG 分配関数の可積分性は、モジュライ空間の境界付近での LQFT 分配関数の成長に関する推定を通じて $c > 25$ に対して確立される。
• $c = 25$ の場合、特に種数 $g = 2$ に対して、退化極限の精密な分析を用いてモジュライ空間への積分の収束が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型乱雑性の枠組みを用いて、種数 $g \geq 2$ のリーマン面におけるリウヴィル量子場理論の分配関数をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 コンパクト化された種数 $g \geq 2$ のリーマン面のモジュライ空間の境界付近における LQFT 分配関数の振るまいはいかなるものか？
• RQ3 中心電荷 $c$ がどの値のとき、LQG 分配関数がモジュライ空間上で可積分になるか？
• RQ4 種数 $g = 2$ において、臨界中心電荷 $c = 25$ のとき LQG 分配関数は収束するか？
• RQ5 この構成によって、$c = 25$ におけるポリアコフの $2d$ ストリング理論の定式化に数学的基盤を与えることができるか？

主な発見

• 種数 $g \geq 2$ の曲面上の LQFT 分配関数は、ガウス型乗法的混沌を用いて厳密に定義され、中心電荷 $c \geq 25$ の共形場理論をもたらす。
• LQG 分配関数は、LQFT を物質理論と結合し、種数 $g \geq 2$ のリーマン面のモジュライ空間に渡って統合することで構成される。
• LQFT 分配関数は、コンパクト化されたモジュライ空間の境界で制御された成長を示し、その後続の可積分性の分析を可能にする。
• 中心電荷 $c > 25$ の場合、LQG 分配関数はモジュライ空間上で可積分であり、この領域で経路積分の収束が保証される。
• 臨界ケース $c = 25$ では、特に種数 $g = 2$ において、モジュライ空間への積分が収束し、双曲的曲面上のポリアコフの $2d$ ストリング理論の数学的実現が得られる。
• この構成により、$c = 25$ で種数 $g = 2$ の場合に、$2d$ ストリング理論におけるポリアコフの分配関数に厳密な数学的解釈が与えられる。