[論文レビュー] Mathematical semantics of intuitionistic logic

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 72被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Kolmogorovの意味的解釈を拡張されたメタ論理を通じて形式化することで、直感主義論理の一般化されたモデル理論を構築する。シーヴ型モデルを導入し、直感主義論理を妥当にするものであり、Tarski風の意味論と調和させる。主な貢献は、構成的枠組み内で論理的およびメタ論理的式を体系的に解釈する、メタ的に明確化されたBHK解釈を提供することであり、シーヴ型モデルに関して完全性を達成する。

ABSTRACT

This work is a mathematician's attempt to understand intuitionistic logic. It can be read in two ways: as a research paper interspersed with lengthy digressions into rethinking of standard material; or as an elementary (but highly unconventional) introduction to first-order intuitionistic logic. For the latter purpose, no training in formal logic is required, but a modest literacy in mathematics, such as topological spaces and posets, is assumed. The main theme of this work is the search for a formal semantics adequate to Kolmogorov's informal interpretation of intuitionistic logic (whose simplest part is more or less the same as the so-called BHK interpretation). This search goes beyond the usual model theory, based on Tarski's notion of semantic consequence, and beyond the usual formalism of first-order logic, based on schemata. Thus we study formal semantics of a simplified version of Paulson's meta-logic, used in the Isabelle prover. By interpreting the meta-logical connectives and quantifiers constructively, we get a generalized model theory, which covers, in particular, realizability-type interpretations of intuitionistic logic. On the other hand, by analyzing Kolmogorov's notion of semantic consequence (which is an alternative to Tarski's standard notion), we get an alternative model theory. By using an extension of the meta-logic, we further get a generalized alternative model theory, which suffices to formalize Kolmogorov's semantics. On the other hand, we also formulate a modification of Kolmogorov's interpretation, which is compatible with the usual, Tarski-style model theory. Namely, it can be formalized by means of sheaf-valued models, which turn out to be a special case of Palmgren's categorical models; intuitionistic logic is complete with respect to this semantics.

研究の動機と目的

• 直感主義論理のKolmogorovの非形式的意味的解釈を、標準的なTarski風のモデル理論とは異なる形で形式化すること。
• 直感主義論理の実現可能性的およびシーヴ型の意味論を併せ持つ一般化されたモデル理論を開発すること。
• シーヴ型モデルに関して完全性を示すことで、直感主義論理と古典的モデル理論を調和させること。
• Paulsonのメタ論理を拡張し、メタ結合子およびメタ量化子の構成的解釈を導入することで、Kolmogorovの意味的帰結の形式化を可能にすること。
• 構成的枠組み内で問題の解の存在を通じて論理的およびメタ論理的式を体系的に解釈する、メタ的に明確化されたBHK解釈を導入すること。

提案手法

• Paulsonのメタ論理を拡張し、構成的に解釈されるメタ結合子およびメタ量化子を導入することで、導出可能性および許容可能性に関する形式的推論を可能にする。
• Tarski風のモデルの一般化として、真理値が位相空間上のシーヴであるシーヴ型モデルを導入し、直感主義論理に関して完全性を保証する。
• 原始的・合成的・メタ的合成的問題を区別することで、メタ的に明確化されたBHK解釈を定義し、解の存在を {T, F} への価値割り当て関数を通じて真偽に写像する。
• 二段階の問題階層（O：内容的問題、Q：メタ問題）を用い、メタ結合子を問題のインデックス付き族上の内容的直感主義的結合子によって解釈する。
• 「解の存在」を再帰的に定義する：問題が解をもつとは、その構成が存在することである。この条件を一元的結合子 ⋄（「解をもつ」）で形式化する。
• 完全性を確立するため、一般化された代替モデルにおいて原理が妥当であることは、シーヴ型意味論下で対応する一般化モデルにおいても同様に妥当であることと同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kolmogorovの直感主義論理に関する非形式的意味的解釈を、一般化されたモデル理論の枠組み内でどのように形式化できるか。
• RQ2 直感主義論理とTarski風のモデル理論を調和させつつ、その構成的性質を保つ意味論を構築できるか。
• RQ3 メタ論理は、直感主義的体系における導出可能性、許容可能性、安定的許容可能性を形式化するために果たす役割は何か。
• RQ4 シーヴ型モデルは、実現可能性と古典的モデル理論の間の橋渡しとして、直感主義論理においてどのように機能するか。
• RQ5 メタ的に明確化されたBHK解釈の正確な形式化は何か。標準的なBHK解釈とはどのように異なるか。

主な発見

• 直感主義論理は、Palmgrenのカテゴリカルモデルの特別な場合であるシーヴ型モデルに関して完全性を満たす。
• メタ的に明確化されたBHK解釈は、メタ論理的文の形式的意味論を提供し、導出可能性、安定的許容可能性、許容可能性を、ドメインおよび問題族に関する量化によって区別する。
• 論理 L の一般化された代替モデルは、導出系 D が妥当であるメタ構造として定義され、このようなモデルは一般化モデルとまったく同じ原理を妥当化する。
• 本稿は、標準的なBHK解釈はKolmogorovの意味論を説明するには不十分であるが、メタ的に明確化されたBHK解釈は、問題の階層と解の存在を用いてそれを形式化できることを示している。
• 価値割り当て領域と前価値割り当て領域の区別は、規則の妥当性に影響を及ぼす。例 7.16 で示されるように、前価値割り当て領域は、価値割り当て領域と同様に規則の妥当性を保つわけではない。
• 拡張されたメタ論理により、Tarskiの概念とは不整合であるが、Kolmogorovの意味的帰結の形式化が可能となり、直感主義論理の新たなモデル理論的基盤が確立される。