[論文レビュー] Matroid and Knapsack Center Problems

Danny Z. Chen, Jian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Facility Location and Emergency Management参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、マトロイドセンター問題とナップサックセンター問題の2つの古典的なkセンター問題の一般化について、近似アルゴリズムを提示する。一般の距離空間上でのマトロイドセンター問題に対しては3-近似アルゴリズムを提案し、そのオーバーオールバリアントに対しては7-近似アルゴリズムを提示する。ナップサックセンター問題に関しては、1つのナップサック制約を厳密に満たし、他の制約は$1+\epsilon$の要因で違反を許容する場合に3-近似アルゴリズムを提示し、同様の保証を持つオーバーオールバリアントへと拡張する。

ABSTRACT

In the classic $k$-center problem, we are given a metric graph, and the objective is to open $k$ nodes as centers such that the maximum distance from any vertex to its closest center is minimized. In this paper, we consider two important generalizations of $k$-center, the matroid center problem and the knapsack center problem. Both problems are motivated by recent content distribution network applications. Our contributions can be summarized as follows: 1. We consider the matroid center problem in which the centers are required to form an independent set of a given matroid. We show this problem is NP-hard even on a line. We present a 3-approximation algorithm for the problem on general metrics. We also consider the outlier version of the problem where a given number of vertices can be excluded as the outliers from the solution. We present a 7-approximation for the outlier version. 2. We consider the (multi-)knapsack center problem in which the centers are required to satisfy one (or more) knapsack constraint(s). It is known that the knapsack center problem with a single knapsack constraint admits a 3-approximation. However, when there are at least two knapsack constraints, we show this problem is not approximable at all. To complement the hardness result, we present a polynomial time algorithm that gives a 3-approximate solution such that one knapsack constraint is satisfied and the others may be violated by at most a factor of $1+ε$. We also obtain a 3-approximation for the outlier version that may violate the knapsack constraint by $1+ε$.

研究の動機と目的

• 与えられたマトロイドにおいて中心が独立集合を形成するという制約を満たすマトロイドセンター問題に対処し、近似アルゴリズムを提供すること。
• 1つ以上のナップサック制約を伴うナップサックセンター問題を研究し、コンテンツ配信ネットワークにおける予算付きサーバ配置をモデル化すること。
• 両問題のロバスト版を調査し、外れ値を除外可能とし、制約の違反を有界に扱えるようにすること。
• これらの一般化された施設配置問題における既知の近似不能性の境界と達成可能な近似比のギャップを埋めること。

提案手法

• プライマル・デュアルアプローチとマトロイド独立性オракルへのアクセスを用いて、マトロイドセンター問題に対する3-近似アルゴリズムを提案する。
• ナップサックセンター問題における重いアイテム（重さが$\epsilon \cdot \mathcal{B}$以上であるもの）を処理するための部分的列挙技術を導入する。
• 反復的丸めと組み合わせたグリーディクラスタリング戦略を適用し、ナップサック制約を$1+\epsilon$の違反範囲内で満たす解を構築する。
• チャージング議論と構造的解析を用いて、特にロバストナップサックセンター設定において近似比を有界化する。
• パーティションマトロイド構造を用いて、コンテンツ配信ネットワークにおける予算制約をモデル化する。
• 制約がわずかに違反されても、計算された解のコストと最適解のコストとの関係を結ぶ、新しい解析フレームワークを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のマトロイド制約を伴うマトロイドセンター問題に対して、定数倍近似が達成可能か？
• RQ2 複数のナップサック制約が存在する場合、ナップサックセンター問題の近似可能性はいかほどか？
• RQ3 制約違反を許容するロバスト（オーバーオール）ナップサックセンター問題に対して、定数倍近似が可能か？
• RQ4 既知の2-近似の困難性を考慮すると、マトロイドセンター問題の近似比を3より良くできるか？
• RQ5 複数制約ナップサックセンター問題において、制約違反と近似比のトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• マトロイドセンター問題は、一般の距離空間上でも3-近似アルゴリズムを有する。これは、直線上でもNP困難であるにもかかわらず成り立つ。
• マトロイドセンター問題のオーバーオールバリアントは7-近似を達成し、基本問題の比を改善している。
• 1つのナップサック制約を伴うナップサックセンター問題は3-近似を達成でき、先行研究を確認する。
• 2つ以上のナップサック制約が存在する場合、問題はP=NPでない限り近似不能であることが示され、強力な困難性結果が得られた。
• 1つのナップサック制約を正確に満たし、他の制約は最大$1+\epsilon$の違反を許容するロバストナップサックセンター問題に対して、3-近似アルゴリズムを提示した。
• 同様に、同じ違反保証を持つロバストナップサックセンター問題のオーバーオールバリアントに対しても3-近似が達成された。