[論文レビュー] Milstein schemes for delay McKean equations and interacting particle systems.

Jianhai Bao, Christoph Reisinger+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、超線形のドリフトを有する遅延 McKean SDE に対して、時刻離散化された相互作用粒子系と、二階モーメントを有する確率測度上の微積分を用いて、安定化 Milstein スキームを提案する。強収束の順序1とモーメント安定性を確立する一方で、Lévy 面積のシミュレーションを回避する反対称多重レベルモンテカルロを用いた切り捨てられた安定化 Milstein スキームにより、最適な複雑度を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we derive fully implementable first order time-stepping schemes for point delay McKean stochastic differential equations (McKean SDEs), possibly with a drift term exhibiting super-linear growth in the state component. Specifically, we propose different tamed Milstein schemes for a time-discretised interacting particle system associated with the McKean equation and prove strong convergence of order 1 and moment stability, making use of techniques from calculus on the space of probability measures with finite second order moments. In addition, we introduce a truncated tamed Milstein scheme based on an antithetic multi-level Monte Carlo approach, which leads to optimal complexity estimators for expected functionals without the need to simulate Levy areas.

研究の動機と目的

• 超線形のドリフトを有する点遅延 McKean SDE に対する完全に実装可能な1次時間ステップスキームの開発を目的とする。
• これらの方程式の数値解において、強収束の順序1とモーメント安定性を保証することを目的とする。
• Lévy 面積のシミュレーションを回避しつつ、期待関数への推定において最適な複雑度を達成するように、切り捨てられた安定化 Milstein スキームを設計することを目的とする。
• 二階モーメントを有する確率測度の空間における微積分の技術を用いて、粒子系近似の収束性を分析することを目的とする。

提案手法

• 遅延 McKean SDE に関連する時刻離散化された相互作用粒子系に特化した安定化 Milstein スキームを導出する。
• 二階モーメントを有する確率測度の空間における微積分を用いて、粒子系の収束性と安定性を分析する。
• 計算効率の向上と Lévy 面積のシミュレーション回避を目的として、切り捨てられた安定化 Milstein スキームを導入する。
• 期待関数への推定における最適な複雑度を達成するために、反対称多重レベルモンテカルロ手法を用いる。
• SDE のドリフト項の成長を制御し、数値的安定性を保証するために、安定化技術を適用する。
• 時間離散化と粒子系近似を組み合わせることで、McKean SDE を完全に実装可能な数値フレームワークでモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形のドリフト項を有する遅延 McKean SDE に対して、安定化 Milstein スキームを構築できるか？
• RQ2 相互作用粒子系の文脈において、これらのスキームの強収束速度とモーメント安定性の挙動はいかなるものか？
• RQ3 Lévy 面積のシミュレーションを回避しつつも、最適な複雑度を維持できるように、切り捨てられた安定化 Milstein スキームを設計できるか？
• RQ4 反対称多重レベルモンテカルロ手法は、期待関数の推定における効率をどのように向上させるか？

主な発見

• 提案された安定化 Milstein スキームは、超線形のドリフトを有する遅延 McKean SDE に対して、強収束の順序1を達成する。
• 安定化スキームに対してモーメント安定性が確立され、時間経過に伴う数値モーメントの有界性が保証される。
• 切り捨てられた安定化 Milstein スキームにより、Lévy 面積のシミュレーションを回避しつつ、期待関数への最適な複雑度推定器が実現される。
• 反対称多重レベルモンテカルロ手法は、関数への推定における分散を効果的に低減し、計算効率を向上させる。
• 収束性と安定性の厳密な結果を得るために、二階モーメントを有する確率測度の空間における高度な微積分に依存する分析が行われる。