[論文レビュー] Models of Type Theory with Strict Equality

Paolo Capriotti|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、マーティン・ローフ型理論に、ホモトピー型理論の従来の等価性に加えて、原始的な厳密等価性を導入した二段階型理論の意味的枠組みを提示する。同論は保存性の結果を確立し、半単体的型や基礎的$(\infty,1)$-圏の構成に応用を示し、HoTTにおける未解決問題の部分的解決を提供する。

ABSTRACT

This thesis introduces the idea of two-level type theory, an extension of Martin-Löf type theory that adds a notion of strict equality as an internal primitive. A type theory with a strict equality alongside the more conventional form of equality, the latter being of fundamental importance for the recent innovation of homotopy type theory (HoTT), was first proposed by Voevodsky, and is usually referred to as HTS. Here, we generalise and expand this idea, by developing a semantic framework that gives a systematic account of type formers for two-level systems, and proving a conservativity result relating back to a conventional type theory like HoTT. Finally, we show how a two-level theory can be used to provide partial solutions to open problems in HoTT. In particular, we use it to construct semi-simplicial types, and lay out the foundations of an internal theory of $(\infty, 1)$-categories.

研究の動機と目的

• 二段階型理論における型生成子の体系的な意味的枠組みの構築を目的とする。
• 二段階型理論が、HoTTなどの従来の型理論に戻る保存性の結果を確立することを目的とする。
• 二段階型理論を用いて、ホモトピー型理論における未解決問題の部分的解決を提供することを目的とする。
• 型理論内での$(\infty,1)$-圏の内部理論の基礎的土台を築くことを目的とする。

提案手法

• マーティン・ローフ型理論を拡張し、型理論的原始として厳密等価性の概念を導入する。
• 二段階システムにおける型生成子を体系的に扱える意味的枠組みを構築する。
• 保存性の議論を用いて、厳密等価性を追加しても、標準的なHoTTの既存の結果が破綻しないことを示す。
• 半単体的型を構成するために二段階システムを応用し、これらは標準的なHoTTでは困難に形式化される。
• 厳密等価性と弱い等価性の区別を活用することで、$(\infty,1)$-圏の内部理論の土台を築く。
• 一貫性と表現力の確保のため、型理論、圏論、ホモトピー論の技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密等価性と弱い等価性を併せ持つ二段階型理論を、体系的かつ意味論的に形式化・正当化する方法は何か？
• RQ2 二段階型理論と標準的ホモトピー型理論との間の保存性の関係は何か？
• RQ3 二段階型理論を用いて、標準的なHoTTでは得られない半単体的型を構成できるか？
• RQ4 厳密等価性と弱い等価性の区別は、$(\infty,1)$-圏の内部的発展をどのように支援するか？
• RQ5 型理論的構成において、厳密等価性を追加することで得られる基礎的利点は何か？

主な発見

• 厳密等価性を有する二段階型理論における型生成子を体系的に扱える意味的枠組みが構築された。
• 保存性の結果が証明され、二段階型理論が標準的ホモトピー型理論の結果を破綻させないことが示された。
• この枠組みにより、通常のHoTTでは困難な半単体的型の構成が可能になった。
• 本稿は、二段階構造を活用して、$(\infty,1)$-圏の内部理論の基礎的土台を築いた。
• 厳密等価性と弱い等価性の区別が、ホモトピー型理論における未解決問題の解決に実用的なツールを提供した。