[論文レビュー] Moduli spaces of hyperelliptic curves with A and D singularities

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$A$ および $D$ 奇性を最高で許容する quasi-admissible な超楕円被覆のモジュライ空間を、2つの安定性パラメータでパrameter化する。これらのパラメータを変化させることで、安定極限のスタック $\mathcal{T}_{A_n}$ と $\mathcal{T}_{D_n}$ およびそれらの $\mathbb{G}_m$-商の間を補間する対数正則モデルを構成し、中間空間が安定極限スタックの対数正則モデルであることを証明する。

ABSTRACT

We introduce moduli spaces of quasi-admissible hyperelliptic covers with at worst A and D singularities. The stability conditions for these moduli spaces depend on two parameters describing allowable singularities. By varying these parameters, we interpolate between the stacks of stable limits of A and D singularities and the quotients of the versal deformation spaces of A and D singularities by a natural $\mathbb{G}_m$ action.

研究の動機と目的

• $A$ および $D$ 奇性の普遍変形空間の局所的幾何と、それらの安定極限スタックの大局的幾何の相違を調べること。
• スタック $\mathcal{T}_{A_n}$ と $\mathcal{T}_{D_n}$ およびそれらの $\mathbb{G}_m$-商の間を補間するモジュライ空間の族を構成すること。
• $A$ および $D$ 奇性を併せ持つ曲線に対して、関手的な同時 $(A_k, D_\ell)$-安定化を構成すること。
• パrameter範囲内の中間モジュライ空間が、$\mathcal{T}_{A_n}$ および $\mathcal{T}_{D_n}$ の対数正則モデルであることを確立すること。

提案手法

• 2つの安定性パラメータを用いて、$A$ および $D$ 奇性を持つ曲線をパラメータ化するための quasi-admissible な超楕円被覆の概念を導入する。
• 除法的標識付き有理曲線および偶数の有理オービキューブの理論を用いて、安定極限におけるテイルの幾何を分析する。
• 安定性パラメータを変化させることで、スタック $\mathcal{T}_{A_n}$ および $\mathcal{T}_{D_n}$ に対して対数最小モデルプログラム（LMMP）を適用し、対数正則モデルを生成する。
• 中間空間の双有理幾何を記述するために、モジュライ空間間の還元写像を構成する。
• 全空間における奇性の解消のため、$D$ 奇性の変形を巡回被覆および吹き上げを用いて分析する。
• 変更理論および形式関数の定理を用いて、安定化が変形空間の適切な修正によって解消できないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定極限の $A_n$ および $D_n$ 奇性のモジュライは、連続的な安定性条件の族によってどのようにパラメータ化可能か？
• RQ2 スタック $\mathcal{T}_{A_n}$ および $\mathcal{T}_{D_n}$ の双有理幾何は何か？ 対数正則モデルはこの文脈でどのように生じるか？
• RQ3 混合 $A$ および $D$ 奇性を持つ曲線に対して、同時に $(A_k, D_\ell)$-安定化を構成できるか？
• RQ4 $A_{2k}$ 奇性の変形空間からのモジュライ写像 $\operatorname{Def}(C) \dashrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g$ は、適切な双有理修正を施しても、なぜ安定族に拡張できないのか？
• RQ5 Weyl被覆および変更理論は、安定極限の文脈におけるモジュライ写像の不定性をどの程度解消できるか？

主な発見

• 2つの安定性パラメータを変化させることで得られる中間モジュライ空間は、スタック $\mathcal{T}_{A_n}$ および $\mathcal{T}_{D_n}$ の対数正則モデルであり、連続的な対数正則モデルの族を提供する。
• $A_n$ 奇性の安定極限のテイルは、 genus $\lfloor n/2 \rfloor$ の超楕円曲線であり、$n$ が偶数のときはワイエルシュトラス点で、奇数のときは2つの共役点でマークされる。
• $D_n$ 奇性の場合は、genus $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ の超楕円曲線であり、$n$ が偶数のときは3点（2つの共役点）で、奇数のときは1つのワイエルシュトラス点を持つ2点でマークされる。
• $A_{2k}$ 奇性の変形空間からのモジュライ写像 $\operatorname{Def}(C) \dashrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g$ は、Weyl被覆に制限しても、いかなる適切な双有理修正によっても解消できない。
• 本構成により、混合 $A$ および $D$ 奇性を持つ曲線に対して、関手的な同時 $(A_k, D_\ell)$-安定化が得られ、ADEの場合の先行結果を一般化する。
• $A_{2k}$ 奇性のモジュライ写像の不定性は本質的であり、特異点集合外で Weyl被覆と同型となる変更によっても解消できない。