[論文レビュー] Moment maps, nonlinear PDE, and stability in mirror symmetry

Tristan C. Collins, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 66被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、ミラー対称性における変動的枠組みを、無限次元GIT問題を通じて変形ヘルミート・ヤン・ミルズ（dHYM）方程式に適用し、超臨界位相の場合における$C^{1,\beta}$正則性を持つ弱測地線の存在を証明する。また、$X \times \Delta$の双有理的モデルから得られる代数的不変量を、dHYM解の障害と関連付け、ブリッジランド安定性に密接に関連した安定性条件と一致することを示し、トーリックケーラー多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を用いて、Landau-Ginzburgモデルにおけるラグランジュ部分多様体の退化を記述する。

ABSTRACT

We study the deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM) equation, which is mirror to the special Lagrangian equation, from the variational point of view via an infinite dimensional GIT problem mirror to Thomas' GIT picture for special Lagrangians. This gives rise to infinite dimensional manifold $\mathcal{H}$ mirror to Solomon's space of positive Lagrangians. In the hypercritical phase case we prove the existence of smooth approximate geodesics, and weak geodesics with $C^{1,α}$ regularity. This is accomplished by proving sharp with respect to scale estimates for the Lagrangian phase operator on collapsing manifolds with boundary. We apply these results to the infinite dimensional GIT problem for deformed Hermitian-Yang-Mills. We associate algebraic invariants to certain birational models of $X imes Δ$, where $Δ\subset \mathbb{C}$ is a disk. Using the existence of regular weak geodesics we prove that these invariants give rise to obstructions to the existence of solutions to the dHYM equation. Furthermore, we show that these invariants fit into a stability framework closely related to Bridgeland stability. Finally, we use a Fourier-Mukai transform on toric Kähler manifolds to describe degenerations of Lagrangian sections of SYZ torus fibrations of Landau-Ginzburg models $(Y,W)$. We speculate on the resulting algebraic invariants, and discuss the implications for relating Bridgeland stability to the existence of special Lagrangian sections of $(Y,W)$.

研究の動機と目的

• ミラー対称性におけるBPSブレーンの3つのアプローチを統一する：幾何的特別ラグランジュ部分多様体、dHYM方程式、およびブリッジランドのカテゴリカル安定性。
• dHYM方程式を、特別ラグランジュ部分多様体のトーマスのGIT図式に類似した無限次元GIT問題として定式化する。
• 双有理的モデル$X \times \Delta$から得られる代数的不変量を構成し、dHYM方程式の解に対する障害を特定する。
• これらの不変量が、ブリッジランド安定性に類似した安定性条件に対応することを示す。
• トーリックケーラー多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を用いて、Landau-GinzburgモデルのSYZファイブレーションにおけるラグランジュ部分多様体の退化を記述する。

提案手法

• 空間$\mathcal{H}$上の無限次元モーメントマップ問題としてdHYM方程式を定式化し、ソロモンの正ラグランジュ部分多様体の空間と鏡像関係を構築する。
• 境界を持つ崩壊する多様体上のラグランジュ位相作用素に対する鋭いスケール不変推定式を確立し、近似測地線の構成を可能にする。
• 超臨界位相領域における$C^{1,\alpha}$正則性を持つ$\mathcal{H}$内での弱測地線を構成する。
• 双有理的モデル$X \times \Delta$（$\Delta \subset \mathbb{C}$はディスク）から代数的不変量を定義し、dHYM解に対する障害を検出する。
• トーリックケーラー多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を用いて、Landau-GinzburgモデルのSYZファイブレーションにおけるラグランジュ部分多様体の退化を記述する。
• 弱測地線の存在を用いて、代数的不変量がdHYM解を妨げることが示され、ブリッジランドに類似した安定性枠組みに適合することが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dHYM方程式は、特別ラグランジュ部分多様体のトーマスのGIT図式に類似した無限次元GIT問題として理解できるか？
• RQ2 双有理的モデル$X \times \Delta$から構成された代数的不変量は、dHYM方程式の解を妨げるか？
• RQ3 dHYM方程式の解の存在を特徴づける、ブリッジランド安定性に密接に関連した安定性条件が存在するか？
• RQ4 Landau-Ginzburgモデルにおけるラグランジュ部分多様体の退化は、導来カテゴリの代数的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 トーリックケーラー多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を用いて、ラグランジュ部分多様体の鏡像的退化とその安定性への関連を記述できるか？

主な発見

• 著者らは、dHYM方程式の超臨界位相の場合において、滑らかな近似測地線および$C^{1,\alpha}$正則性を持つ弱測地線の存在を証明する。
• 境界を持つ崩壊する多様体上のラグランジュ位相作用素に対する鋭いスケール不変推定式が確立され、弱測地線の構成が可能になる。
• 双有理的モデル$X \times \Delta$に関連する代数的不変量が、dHYM方程式の解を妨げることが示された。
• これらの不変量は、ブリッジランド安定性に類似した安定性枠組みに適合することが確認され、特別ラグランジュ部分多様体と安定性の間の伝説的予想を支持する。
• トーリックケーラー多様体上のフーリエ＝ムカイ変換を用いて、Landau-GinzburgモデルのSYZファイブレーションにおけるラグランジュ部分多様体の退化を記述し、得られたラグランジュ部分多様体が鏡像の期待と一致することが示された。
• 特別ラグランジュ部分多様体の存在に対する必要条件として、$\sin(\varphi(\tilde{L}_\infty) - \varphi(\tilde{L}_0)) < 0$が導出され、期待されるブリッジランド安定性条件と一致する。