[论文解读] Monotonicity of non-pluripolar Monge-Amp\`ere masses

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文证明了在紧致凯勒流形上，θ-pluripolar函数的非多重极值 Monge-Ampère 测度随奇点增加而单调递减，从而证实了 Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi 的一个猜想。证明通过在 $X \times \mathbb{P}^N$ 上构造一族函数，利用单纯形上的积分比较原理，并借助 Monge-Ampère 测度的连续性，建立了当 $\varphi$ 的奇点少于 $\psi$ 时，$\int_X \mathrm{MA}_\theta(\varphi) \geq \int_X \mathrm{MA}_\theta(\psi)$ 的不等式，即使在不假设小无界支集的前提下也成立。

ABSTRACT

We prove that on a compact K\"ahler manifold, the non-pluripolar Monge-Amp\`ere mass of a $ heta$-psh function decreases as the singularities increase. This was conjectured by Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi who proved it under the additional assumption of the functions having small unbounded locus. As a corollary we get a comparison principle for $ heta$-psh functions, analogous to the comparison principle for psh functions due to Bedford-Taylor.

研究动机与目标

• 解决 Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi 关于 θ-pluripolar 函数非多重极值 Monge-Ampère 测度单调性的猜想。
• 为 θ-pluripolar 函数建立类似于经典 Bedford-Taylor 结果的比较原理。
• 在先前关于 Monge-Ampère 测度单调性的结果中，去除对小无界支集的限制性假设。
• 将比较原理扩展到完整的非多重极值情形，包括具有大无界支集的函数。

提出的方法

• 在 $X \times \mathbb{P}^N$ 上为大 $N$ 构造一族 θ-pluripolar 函数 Φ 和 Ψ，使用涉及齐次坐标和对数项的上确界构造法。
• 在 $X \times \mathbb{P}^N$ 上定义一个新的形式 $\tilde{\theta}$，使得 $\tilde{\theta}$-pluripolar 函数 Φ 和 Ψ 继承 φ 和 ψ 的奇点阶。
• 利用 [BEGZ10] 中已知的关于小无界支集函数的单调性结果，建立 $\int_{X \times \mathbb{P}^N} \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi) \geq \int_{X \times \mathbb{P}^N} \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Psi)$。
• 通过在单纯形 $[0,1]$ 上积分，推导出 $\mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi)$ 和 $\mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Psi)$ 的推出（pushforward）公式，将其与 $\mathrm{MA}_\theta(\varphi)$ 和 $\mathrm{MA}_\theta(\psi)$ 联系起来。
• 应用 Monge-Ampère 测度在参数 $t$ 上的连续性，并取 $N \to \infty$ 的极限，从而在 $X$ 上恢复所需的不等式。
• 利用所得不等式和多重精细局部性，推导出在子水平集 $\{\varphi < \psi\}$ 上的比较原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当函数的奇点增加时，即使不假设小无界支集，θ-pluripolar 函数的非多重极值 Monge-Ampère 测度是否仍会递减？
• RQ2 经典 Bedford-Taylor 对 psh 函数建立的比较原理，能否推广到非多重极值情形下的 θ-pluripolar 函数？
• RQ3 当奇点较大时，Monge-Ampère 测度的单调性是否在逼近序列的极限下仍然保持？
• RQ4 能否利用 $X \times \mathbb{P}^N$ 上测地线射线或相关函数的构造，在复几何中推导出全局质量不等式？

主要发现

• 本文证实了猜想：若 $\varphi$ 的奇点少于 $\psi$，则 $\int_X \mathrm{MA}_\theta(\varphi) \geq \int_X \mathrm{MA}_\theta(\psi)$，即使两个函数都具有大无界支集也成立。
• 比较原理 $\int_{\{\varphi < \psi\}} \mathrm{MA}_\theta(\psi) \leq \int_{\{\varphi < \psi\}} \mathrm{MA}_\theta(\varphi)$ 对 θ-pluripolar 函数成立，将 Bedford-Taylor 结果推广到了非多重极值情形。
• 证明了在 $X \times \mathbb{P}^N$ 上，$\Phi$ 的 Monge-Ampère 测度满足 $ (\pi_X)_* \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi) = N \int_0^1 \mathrm{MA}_\theta((1-t)\varphi_0 + t\varphi) t^{N-1} dt $，将乘积空间上的质量与 $X$ 上的原始质量联系起来。
• 当 $N \to \infty$ 时，归一化积分的极限恢复了原始 Monge-Ampère 测度，通过极限论证证明了单调性不等式。
• 即使 $\varphi$ 和 $\psi$ 不是局部有界的，该结果依然成立，从而将非多重极值 Monge-Ampère 理论的应用范围扩展到一般的 θ-pluripolar 函数。
• 该证明方法受测地线射线构造的启发，为处理非多重极值质量提供了一种新方法，且无需假设测地线射线的质量非零。