[論文レビュー] Motzkin Intervals and Valid Hook Configurations

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スターリングとタマリのラティスの間の中間構造としての新しいモツキン経路の半順序を定義し、312-回避順列における有効フック配置とこれらの新しい順序集合の区間の間の双対写像を確立する。231-回避有効フック配置の数え上げは、ファングのモツキン-タマリ順序集合における区間の数え上げと同じ数列で与えられ、その漸近的公式と生成関数が得られるとともに、四分平面上の格子道との中深いつながりを予想する。

ABSTRACT

We define a new natural partial order on Motzkin paths that serves as an intermediate step between two previously-studied partial orders. We provide a bijection between valid hook configurations of $312$-avoiding permutations and intervals in these new posets. We also show that valid hook configurations of permutations avoiding $132$ (or equivalently, $231$) are counted by the same numbers that count intervals in the Motzkin-Tamari posets that Fang recently introduced, and we give an asymptotic formula for these numbers. We then proceed to enumerate valid hook configurations of permutations avoiding other collections of patterns. We also provide enumerative conjectures, one of which links valid hook configurations of $312$-avoiding permutations, intervals in the new posets we have defined, and certain closed lattice walks with small steps that are confined to a quarter plane.

研究の動機と目的

• モツキン経路にスターリングラティス $\mathcal{M}_n^S$ とタマリ順序集合 $\mathcal{M}_n^T$ の中間構造としての新しい半順序 $\mathcal{M}_n^C$ を定義すること。
• 312-回避順列における有効フック配置と新たに定義された順序集合の区間との間の双対写像を確立すること。
• 231（または132）-回避順列における有効フック配置を数え上げ、ファングのモツキン-タマリ順序集合における区間数と関連付けること。
• このような配置の数の漸近的公式を導出し、231-回避の場合の生成関数を提供すること。
• 231-回避有効フック配置、モツキン-タマリ区間、および小ステップを伴う四分平面上の格子道との間に深い組合せ的関係があると予想すること。

提案手法

• スターリングラティス $\mathcal{M}_n^S$ とタマリ順序集合 $\mathcal{M}_n^T$ の中間構造として、モツキン経路に新しい半順序 $\mathcal{M}_n^C$ を定義する。
• 312-回避順列における有効フック配置と $\mathcal{M}_n^C$ の区間との間の双対写像を確立する。
• 再帰関係と生成関数を用いて、231-回避順列における有効フック配置を数え上げ、二変数生成関数 $I(x,z)$ を導出する。
• 核法を適用して $I(x,z)$ の関数方程式を解き、$|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))|$ の閉形式生成関数を得る。
• 正規化技術と組合せ的分解を用いて問題を部分配置における選択肢の数え上げに還元し、$A_{\geq j-1}(i)$ と $B_{\geq j-1}(n)$ を含む再帰関係を導出する。
• 生成関数 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,3241))|$ および $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,2143))|$ を $\frac{1+x^2 - \sqrt{1-4x+2x^2+x^4}}{2x}$ と予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スターリングとタマリのラティスの間の中間構造として、モツキン経路に新しい半順序をどのように定義できるか？
• RQ2 312-回避順列における有効フック配置と新しい順序集合 $\mathcal{M}_n^C$ の区間との間に自然な双対写像が存在するか？
• RQ3 231-回避順列における有効フック配置の数の漸近的成長率は何か？
• RQ4 231 および 1243-回避順列における有効フック配置の数の閉形式生成関数を導出できるか？
• RQ5 231-回避有効フック配置、モツキン-タマリ順序集合の区間、および小ステップを伴う四分平面上の格子道との間に深い組合せ的関係があるか？

主な発見

• 長さ $n$ の312-回避順列における有効フック配置の数は、新しい順序集合 $\mathcal{M}_n^C$ の区間の数に等しく、直接的な双対写像が確立されている。
• 長さ $n$ の231-回避順列における有効フック配置の数は、ファングのモツキン-タマリ順序集合 $\mathcal{M}_n^T$ における区間の数を数えるのと同じ数列で与えられ、漸近的成長率は $\sim \frac{4^n}{n^{3/2}}$ である。
• $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))|$ の生成関数は $\sum_{n\geq 0} |\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))| x^n = 1 + \frac{2x^2}{3x - 1 + \sqrt{1 - 2x - 3x^2}}$ として導出され、これは $I(x,0)$ の生成関数である。
• r=3 の場合、$|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,231,312))| = F_n$（$n$ 番目のフィボナッチ数）および $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,231,321))| = 1 + \binom{n-1}{2}$ の明示的生成関数が提供される。
• 生成関数 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,3241))|$ および $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,2143))|$ が同じ $\frac{1 + x^2 - \sqrt{1 - 4x + 2x^2 + x^4}}{2x}$ であると予想され、最初の等式は [22] の先行結果によって裏付けられている。