[论文解读] Multicore Homology via Mayer Vietoris

Ryan H. Lewis, Afra Zomorodian|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文提出两种并行算法，利用Mayer-Vietoris原理计算大规模胞复形的持久同调。该方法通过图划分将复形分解为重叠子空间，构建Mayer-Vietoris展开复形以组织子复形，对每个部分并行计算同调，最后串行拼接结果。在使用11个核心处理一个具有4600万单形的10维复形时，该方法实现了最高8倍的加速，证明了在多核系统上的强可扩展性。

ABSTRACT

In this work we investigate the parallel computation of homology using the Mayer-Vietoris principle. We present a two stage approach for parallelizing persistence. In the first stage, we produce a cover of the input cell complex by overlapping subspaces. In the second stage, we use this cover to build the Mayer-Vietoris blowup complex, a topological space, which organizes the various subspaces needed for employing the Mayer-Vietoris principle. Next, we compute the homology of each subspace in the blowup complex in parallel and then glue these results together in serial. We show how to use the persistence algorithm to organize these computations. In the first stage, any algorithm can be used to produce a cover of the input complex. We describe an algorithm for producing a cover of a space with a simple structure and bounded overlap based on graph partitions. Additionally, we present a simplistic model for the problem of finding covers appropriate for parallel algorithms and show that finding such covers is NP-Hard. Finally, we present a second parallel homology algorithm. This algorithm avoids the explicit construction of the blowup complex saving space. We implement our algorithms for multicore computers, and compare them against each other as well as existing serial and parallel algorithms with a suite of experiments. We achieve roughly 8x speedup of the homology computations on a 10-dimensional complex with about 46 million simplices using 11 cores.

研究动机与目标

• 开发可扩展的并行算法，用于在多核共享内存机器上计算持久同调。
• 利用Mayer-Vietoris谱序列实现同调计算的高效分解与重构。
• 通过智能覆盖生成与展开复形构建，最小化内存开销并提升可扩展性。
• 在大规模拓扑数据上，评估与现有串行及并行算法的性能表现。
• 探讨覆盖生成的理论难度，并为实际应用提供实用启发式方法。

提出的方法

• 使用图划分生成输入胞复形的覆盖，保证重叠度有界且结构简单。
• 构建Mayer-Vietoris展开复形，编码子复形及其交集，以系统化组织同调计算。
• 使用持久同调算法在展开复形的每个子空间上并行计算同调。
• 利用Mayer-Vietoris正合序列串行拼接结果，恢复全局同调。
• 提出第二种空间优化算法，避免显式构建展开复形，以减少内存使用。
• 采用基于过滤的方法，在保持持久同调等价性的同时支持并行化约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mayer-Vietoris原理能否有效应用于多核架构上的同调计算并行化？
• RQ2 寻找用于并行同调计算的最优覆盖的计算复杂度是多少？是否可解？
• RQ3 所提算法在实际应用中与现有串行及并行方法相比性能如何？
• RQ4 通过避免显式构建展开复形，能否显著降低内存使用而不牺牲性能？
• RQ5 Mayer-Vietoris框架在多大程度上可扩展以保持过滤复形中的持久同调？

主要发现

• 所提出的多核同调算法在使用11个核心处理一个10维复形（含4600万单形）时，实现了约8倍的加速。
• 基于启发式方法的覆盖生成在11个核心上实现了约77%的效率，表现出强可扩展性。
• 避免显式构建展开复形的算法相比标准方法显著降低了内存使用。
• Mayer-Vietoris展开复形能够准确地从并行子复形计算中重构出全局同调。
• 基于谱序列的方法允许在保持持久同调结构的同时并行化边界矩阵约化。
• 研究表明，寻找用于并行同调计算的最优覆盖是NP难问题，从而在实践中支持使用启发式方法。