[论文解读] Multitype Integer Monoid Optimization and Applications

Dušan Knop, Martin Koutecký+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2019

Optimization and Packing Problems参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文提出了多类型整数幺半群优化（MIMO），一种通过将配置建模为幺半群元素并优化多种配置类型的分解方式，来求解高重数调度与装箱问题的通用框架。该研究建立了一个新颖的邻近性定理，将整数松弛与连续松弛联系起来，从而为具有多种目标函数的MIMO问题提供了更快的精确算法，并表明在标准复杂性假设下，这些结果是紧致的。

ABSTRACT

Configuration integer programs (IP) have been key in the design of algorithms for NP-hard high-multiplicity problems since the pioneering work of Gilmore and Gomory [Oper. Res., 1961]. Configuration IPs have a variable for each possible configuration, which describes a placement of items into a location, and whose value corresponds to the number of locations with that placement. In high multiplicity problems items come in types, and are represented succinctly by a vector of multiplicities; solving the configuration IP then amounts to deciding whether the input vector of multiplicities of items of each type can be decomposed into a given number of configurations. We make this implicit notion explicit by observing that the set of all input vectors decomposable into configurations forms a monoid, and solving the configuration IP is the Monoid Decomposition problem. Motivated by applications, we enrich this problem in two ways. First, sometimes each configuration additionally has an objective value, yielding an optimization problem of finding a "best" decomposition under the given objective. Second, there are often different types of configurations for different types of locations. The resulting problem is to optimize over decompositions of the input multiplicity vector into configurations of several types, and we call it Multitype Integer Monoid Optimization, or MIMO. We develop fast exact algorithms for various MIMO with few or many location types and with various objectives. Our algorithms build on a novel proximity theorem connecting the solutions of a certain configuration IP to those of its continuous relaxation. We then cast several fundamental scheduling and bin packing problems as MIMOs, and thereby obtain new or substantially faster algorithms for them. We complement our positive algorithmic results by hardness results.

研究动机与目标

• 将配置整数规划（IP）的形式化与泛化，通过引入幺半群分解问题作为基础抽象。
• 将配置IP扩展至支持多种配置类型与目标函数，从而提出新的MIMO框架。
• 为具有少量或大量位置类型及多样化目标函数的MIMO问题，开发快速精确算法。
• 通过在标准假设下证明难解性结果，建立紧致的复杂性界限。
• 通过MIMO统一并改进经典问题（如装箱、调度与划分）的现有算法。

提出的方法

• 将配置的幺半群定义为可分解为有效配置的所有输入向量的集合，形式化高重数问题中隐含的结构。
• 将MIMO定义为对多重性向量分解为多种类型配置的优化问题，每类配置均关联有相应目标。
• 提出一种新颖的邻近性定理，将整数配置IP的解与其中连续松弛的解联系起来，从而实现高效解的搜索。
• 将MIMO实例约化为巨大的N-折叠整数规划，利用已知的N-折叠IP的FPT算法，获得快速精确算法。
• 使用可分的凹目标函数来建模困难的组合约束（例如装箱、划分），通过二次惩罚强制二值决策。
• 通过将NP难问题（如划分、装箱）约化至MIMO，证明难解性结果，表明算法范式具有最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 配置IP框架能否以统一方式推广至处理多种配置类型与目标函数？
• RQ2 整数配置IP与其连续松弛之间存在何种结构关系？该关系如何被算法性地利用？
• RQ3 是否存在针对具有少量或大量配置类型及各种目标函数的MIMO的快速精确算法？
• RQ4 MIMO能否用于统一并改进经典问题（如装箱与调度）的现有算法？
• RQ5 MIMO的紧致复杂性界限是什么？哪些算法范式不太可能被进一步扩展？

主要发现

• 建立了一个新的邻近性定理，将配置IP的整数解与其连续松弛解联系起来，从而实现对最优解的高效搜索。
• 本文提出MIMO作为通用框架，能够捕捉并统一高重数调度、装箱及相关问题。
• 为具有少量或大量位置类型及多种目标函数的MIMO问题，开发了快速精确算法，包括可分凹二次目标函数。
• 该框架使基本问题（如完工时间最小化、装箱、划分）获得新算法或显著更快的算法。
• 难解性结果表明，算法范式是紧致的：当以r和t为参数时，MIMO在具有小系数的情况下仍为W[1]-难，且在固定费用目标下为NP难。
• 将MIMO约化为巨大N-折叠IP，可利用现有FPT算法；同时证明N-折叠IP的难解性在标准假设下是紧致的。