[論文レビュー] N=1 theories of class S_k

Davide Gaiotto, Shlomo S. Razamat|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、穴あきリーマン面への6次元$(1,0)$超対称共形場理論（SCFT）の compactification を通じて構成される、${\cal N}=1$ スーパーレジリオン共形場理論の新クラス ${\cal S}_k$ を導入する。これは、${\cal N}=2$ クラス ${\cal S}$ の構成を一般化したものである。理論の超対称的インデックスは、一般化された楕円型 Ruijsenaars-Schneider 差分作用素の固有関数を用いて計算されると提案されており、退化により $k=1$ の場合にマクドナルド多項式に類似した多項式インデックスが得られるとされる。また、完全性を満たすために、新たな強い結合性 ${\cal N}=1$ SCFT の存在を予想する。

ABSTRACT

We construct classes of ${\cal N}=1$ superconformal theories elements of which are labeled by punctured Riemann surfaces. Degenerations of the surfaces correspond, in some cases, to weak coupling limits. Different classes are labeled by two integers (N,k). The k=1 case coincides with A_{N-1} ${\cal N}=2$ theories of class S and simple examples of theories with k>1 are Z_k orbifolds of some of the A_{N-1} class S theories. For the space of ${\cal N}=1$ theories to be complete in an appropriate sense we find it necessary to conjecture existence of new ${\cal N}=1$ strongly coupled SCFTs. These SCFTs when coupled to additional matter can be related by dualities to gauge theories. We discuss in detail the A_1 case with k=2 using the supersymmetric index as our analysis tool. The index of theories in classes with k>1 can be constructed using eigenfunctions of elliptic quantum mechanical models generalizing the Ruijsenaars-Schneider integrable model. When the elliptic curve of the model degenerates these eigenfunctions become polynomials with coefficients being algebraic expressions in fugacities, generalizing the Macdonald polynomials with rational coefficients appearing when k=1.

研究の動機と目的

• 6次元$(1,0)$ SCFT のねじれ compactification を用いて、${\cal N}=2$ から ${\cal N}=1$ スーパーレジリオン共形場理論へのクラス ${\cal S}$ の構成を拡張すること。
• 穴あきリーマン面と整数 $(N,k)$ を用いてラベル付けされた、${\cal N}=1$ SCFT の新たな族を定義し、$k=1$ の${\cal N}=2$ クラス ${\cal S}$ 理論を一般化すること。
• Ruijsenaars-Schneider モデルを一般化した新しい楕円型差分作用素の固有関数を用いて、これらの理論の超対称的インデックスを計算するフレームワークを確立すること。
• クラス ${\cal S}_k$ の構成の完全性を満たすために、新たな強い結合性 ${\cal N}=1$ SCFT の存在を予想すること。

提案手法

• M理論における $A_{k-1}$ 奇性上に $N$ 個の M5ブレーンを配置することで、6次元$(1,0)$ SCFT ${\cal T}^N_k$ を得る。この理論を用いて、${\cal N}=1$ 理論を構成する。
• 二部グラフ型クウェイバーゲージ理論を円筒上に配置し、従来の${\cal N}=1$ 理論の「コア」として用い、双対性や幾何的構造を調査する。
• 超対称的インデックスを、一般化された楕円型 Ruijsenaars-Schneider 差分作用素の固有関数を用いて計算する。この作用素は、ファガシティとモジュライに依存する。
• リーマン面のペア・オブ・パンツ分解を用いて双対性を導出し、異なる分解におけるインデックス計算が一致することを確認する。
• $U(1)_t$ 離散荷重を持つ理論に対して、双対固有関数 $\hat{\psi}_\lambda$ を導入し、$\Gamma_e$ 関数を用いた変換によって $\psi_\lambda$ と関連付ける。
• $k>1$ の場合に、2種類の異なる差分作用素 ${{\widetilde{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ と ${{\hat{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ が直交性と可換性を満たすことを確立する。$k=1$ の場合にのみ、これら2つは一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal N}=2$ 理論のクラス ${\cal S}$ 構成を、${\cal N}=1$ スーパーレジリオン共形場理論へどのように一般化できるか？
• RQ2 特に ${\cal T}^N_k$ を通じて、6次元$(1,0)$ SCFT が、コンパクト化によって新しい${\cal N}=1$ SCFT を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 リーマン面の幾何的変形（例：退化やペア・オブ・パンツ分解）に対して、${\cal S}_k$ 理論の超対称的インデックスはどのように変化するか？
• RQ4 $k>1$ の場合に、インデックスを支配する差分作用素の構造は何か？ これは Ruijsenaars-Schneider モデルをどのように一般化するか？
• RQ5 なぜクラス ${\cal S}_k$ の完全性を満たすために、新たな強い結合性 ${\cal N}=1$ SCFT が必要なのか？ また、これらは双対性を通じてゲージ理論とどのように関係するか？

主な発見

• ${\cal N}=1$ 理論のクラス ${\cal S}_k$ の超対称的インデックスは、一般化された楕円型 Ruijsenaars-Schneider 差分作用素の固有関数を用いた2次元トポロジカル場理論として計算される。
• $k=1$ の場合、固有関数は有理数係数のマクドナルド多項式に簡約される。$k>1$ の場合、これらは有理関数係数をもつ高 genus 楕円型モデルの固有関数となる。
• モデル内の楕円曲線の退化は、多項式固有関数をもたらし、$k=1$ の場合を一般化する。これにより、ラグランジュ的記述がない場合でもインデックスの計算が可能になる。
• $k>1$ の場合に2つの異なる可換差分作用素 ${{\widetilde{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ と ${{\hat{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$ が存在することは、$k=1$ の場合に比べてより豊かな構造を示している。$k=1$ の場合にのみ、これら2つは一致する。
• クラス ${\cal S}_k$ の完全性を満たすために、新たな強い結合性 ${\cal N}=1$ SCFT の存在を予想する必要がある。これらの SCFT は、物質と結合することで双対ゲージ理論を生成する。
• $U(1)_t$ 離散荷重を持つ理論のインデックス計算には、双対固有関数 $\hat{\psi}_\lambda$ が関与する。これは非自明な $\Gamma_e$-基底変換によって $\psi_\lambda$ と関連付けられ、双対性のもとで一貫性が保たれる。