[論文レビュー] New foundations for geometry

Shai Haran|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非加法的構造に基づく新しい代数的枠組みを導入し、伝統的な環の代わりに『F-環』——半環とモノイドから構成される一般化された環——を用いることで、算術幾何における基礎的問題、特にテンソル積による算術平面の崩壊を解決する。主な貢献は、加法を原始的演算として排除することで、数論における幾何的直観を回復する新しい幾何的言語の構築である。

ABSTRACT

We shall describe a simple generalization of commutative rings. The category GR of such "rings", contains the ordinary commutative rings (fully faithfully), but also the "integers" and "residue field" at a real or complex place of a field ; the "field with one element" (the initial object of GR ); the "arithmetical surface" ( the sum in the category GR of the integers with them self: Z(x)Z ) . We shall show that this geometry "see" the real and complex places of a number field (there is an Ostrowski theorem that the valuation sub-GR of a number field correspond to the finite and infinite primes; there is a compactification of the spectrum of the integers ). One can develop algebraic geometry using GR following Grothendieck paradigm . Quillen's homotopical algebra replaces homological algebra . There is an analogue of Quillen's cotangent bundle - in particular there is a theory of non-additive derivations, with modules of Kahler differentials which satisfy all the usual exact sequences - we compute explicitly the differentials of the integers Z over the initial object F1 . Finally we associate with any topological compact valuation GR a meromorphic function - its "zeta" : for the p-adic integers we get the p-local factor of zeta, for the "real integers" we get the gamma factor.

研究の動機と目的

• Z と自身のテンソル積が Z に収縮することによって生じる算術幾何における基礎的問題を解決すること。
• 可換環の代わりに非加法的代数的構造を用いることで、『1つの元からなる体』（F₁）上の代数幾何を再構築すること。
• 加法を原始的演算として排除することで、数論における幾何的直観を回復し、数体環と関数環の類似性の崩壊を解消すること。
• 加法的逆元が存在しない状況においても幾何的に適切に振る舞う一般化された環上のスキーム、層、ベクトルバンドルの理論を構築すること。
• p-進およびアーチメデス的測度を含む積分公式を通じて、ゼータ関数およびL関数の新しい基礎を提供すること。

提案手法

• 加法が可逆でないか、そもそも消去法則を満たさなくてもよい『F-環』——半環とモノイドから構成される一般化された環——を導入し、非加法的代数幾何を可能にする。
• F-環に対してスペクトル、イデアル、局所化、構造層を定義し、グロタンディークのスキーム理論を非加法的文脈に一般化する。
• F-環上の自己同一的構造を用いて対称幾何を構築し、対合を持つスキームや、コンパクト化された Spec Z などの新しい幾何的対象を可能にする。
• プロスキームおよび射影極限を用いて、整数環のコンパクト化、例えばコンパクト化されたスペクトルの構成を行う。
• Q_p^n 内の球面上での「ベータ測度」を用いたp-進およびアーチメデス的積分を適用し、ゼータ関数の因子および局所L因子を導出する。
• |x·y|_p^{s-1} および |x_1 + ... + x_n|_p^{s-1} を含むp-進およびアーチメデス的積分の積分恒等式を導出し、極限過程を通じてゼータ関数に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環における加法的構造に依存せずに算術幾何を再構築する方法は何か？
• RQ2 数論における幾何的直観を回復するための『1つの元からなる体』（F₁）の正しい代数的基盤は何か？
• RQ3 なぜ Z と自身のテンソル積が Z に収縮するのか？そして、幾何的に意味のある方法でこれを回避できるか？
• RQ4 p-進およびアーチメデス的測度を用いた幾何的積分公式から、ゼータ関数およびL関数を導出できるか？
• RQ5 F-環上の対称的イデアルおよび自己同一的構造は、対合を持つスキームなどの新しい幾何的対象をどのように導くのか？

主な発見

• Z と自身のテンソル積が Z に収縮することにより、標準的な可換環論が算術平面の幾何的概念を捉えられていないことが示された。
• 算術平面は、F(N) ⊗_F F(N) として再構築され、F(N) は N 上の自由な F-環である。ここでは、対角線ではなく非自明な2次元的対象が得られる。
• 整数環のコンパクト化されたスペクトル、すなわち overline{spec Z} は、逆極限を用いたプロスキームとして構成され、幾何的コンパクト化を提供する。
• すべての p ≥ η（p = η は実位相に対応）に対して、Q_p 上の正規化された和測度 φ_p^N(dx) の極限は、p = η の場合にはガウス分布、p ≠ η の場合にはハール測度に収束し、局所ゼータ因子と関連づけられる。
• 局所ゼータ因子 ζ_p(s)/ζ_p(1) は、積分 ∫ |x_1 + ... + x_N|_p^{s-1} dσ_p^N(dx) の極限として回復され、オイラー因子の幾何的導出がなされた。
• ベータ積分公式 ∫_{S_p^n} |x_1|_p^{α_1-1}...|x_n|_p^{α_n-1} dσ_p^n(dx) = B_p(α_1,…,α_n) が確立され、測度は Z_p^*-作用に関して不変であり、P^{n-1}(Q_p) 上の確率測度として解釈可能である。