[論文レビュー] Non-characteristic expansions of Legendrian singularities

David Nadler|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、任意のレジェンドリアン特異点を、組み合わせ的に単純な特異点——具体的にはアービトゥラル特異点——を持つ近傍のレジェンドリアン部分多様体に変形するアルゴリズムを提示する。この変形は、マイクロローカル層の圏を保存する。主な貢献は、有限次元代数上のクーヴィア表現を用いたマイクロローカル層の明示的で計算可能なモデルの構築であり、これによりホモロジカルミラー対称性やワインスタイント多様体論における明示的計算と応用が可能になる。

ABSTRACT

This paper presents an algorithm to deform any Legendrian singularity to a nearby Legendrian subvariety with singularities of a simple combinatorial nature. Furthermore, the category of microlocal sheaves on the original Legendrian singularity is equivalent to that on the nearby Legendrian subvariety. This yields a concrete combinatorial model for microlocal sheaves, as well as an elementary method for calculating them.

研究の動機と目的

• 任意のレジェンドリアン特異点を、単純で組み合わせ的な性質を持つ近傍のレジェンドリアン部分多様体に体系的に変形するための方法を提供すること。
• 元のレジェンドリアン特異点上のマイクロローカル層のdg圏と、変形された組み合わせ的構造を持つレジェンドリアン上のそれらの間の同値性を確立すること。
• 有限次元代数上のクーヴィア表現を用いて、マイクロローカル層の明示的で計算可能なモデルを構築すること。
• マイクロローカル層の明示的計算を、それまで取り扱いにくかった幾何的文脈、特にLandau-Ginzburgモデルやワインスタイント多様体において可能にすること。
• マイクロローカル層理論の基礎的発展を支援すること、特にラップド版とFukaya圏への関連性を含む。

提案手法

• 制御データ、切断されたシリンダー、滑らか化された拡張を用いた多段階の展開アルゴリズムを用いて、元のレジェンドリアン特異点を、アービトゥラル型特異点を持つ新たなレジェンドリアン部分多様体に変形する。
• 環境多様体から特異点集合へへのほぼ再帰的写像を構成し、マイクロローカル構造を保存したまま変形を実現する。
• 偏順序集合に基づく切断されたシリンダーと拡張された層の構成を用い、次元の異なる層同士の整合性を保証する。
• 滑らか化手順として、ホメオモルフィズムを用いて、拡張された折れ線的構造を、制御された特異点を持つ滑らかなレジェンドリアン部分多様体に変換する。
• 非特徴的同倫とマイクロローカル射影を用いて、特異点の台とマイクロローカル層の圏の同値性を維持する。
• 有限開被覆上の極限過程を通じて構成を検証し、コア層より下で消える標準的代表元を用いて、マイクロローカル層の圏の同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のレジェンドリアン特異点は、マイクロローカル層の圏を変更せずに、単純で組み合わせ的な性質を持つ近傍のレジェンドリアン部分多様体に変形可能か？
• RQ2 制御データやほぼ再帰的写像といった幾何的・位相的道具を用いて、このような変形を実現する構成的アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 複雑なレジェンドリアン特異点上のマイクロローカル層は、どの程度まで、より単純なアービトゥラルモデル上のクーヴィア表現に置き換え可能か？
• RQ4 方向付き超曲面の文脈において、非特徴的同倫と拡張がマイクロローカル層の圏にどのように作用するか？
• RQ5 この変形プロセスは、特異的サンゴールをもつLandau-Ginzburgモデルにおけるホモロジカルミラー対称性の新しい同値性を確立するために用いられるか？

主な発見

• 任意のレジェンドリアン特異点上のマイクロローカル層の圏は、アービトゥラル特異点を持つ近傍のレジェンドリアン部分多様体上のそれと同値である。
• 変形アルゴリズムにより、滑らかで近傍のレジェンドリアン部分多様体が得られ、その特異点は根付き木に従ってモデル化され、クーヴィア表現による組み合わせ的記述が可能になる。
• 元の特異点上のマイクロローカル層は、小さな球上の極限構成を通じて、拡張され滑らかにされたレジェンドリアン上のそれと同型である。
• ほぼ再帰的写像に沿った押し出し写像により、マイクロローカル層のdg圏の同値性が保たれ、 quasi-equivalence が誘導される。
• コア層より下で消える、層の圏における標準的代表元が構成され、マイクロローカル層不変量の明示的計算が可能になる。
• 本手法は、マイクロローカル層理論の基礎的発展——特にラップド版とワインスタイント多様体、Fukaya圏への応用——を裏付けるものである。