[論文レビュー] Non-Identity Check Remains QMA-Complete for Short Circuits

Zhengfeng Ji, Xiaodi Wu|ArXiv.org|Jun 30, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、各ゲートが Ω(log n) ビットの精度で指定される限り、定数深さの量子回路に対しても非同一性チェック問題が QMA-完全のままであることを証明している。1次元局所ハミルトニアン問題からの還元とソロベイ＝キタエフ定理を用いて、ユニバーサルゲートセットを用いる場合、多対数的および対数的深さの回路に対しても問題が QMA-完全のままであることが示され、短い深さの量子計算における根本的な計算困難性の限界が確立された。

ABSTRACT

The Non-Identity Check problem asks whether a given a quantum circuit is far away from the identity or not. It is well known that this problem is QMA-Complete \cite{JWB05}. In this note, it is shown that the Non-Identity Check problem remains QMA-Complete for circuits of short depth. Specifically, we prove that for constant depth quantum circuit in which each gate is given to at least $Ω(\log n)$ bits of precision, the Non-Identity Check problem is QMA-Complete. It also follows that the hardness of the problem remains for polylogarithmic depth circuit consisting of only gates from any universal gate set and for logarithmic depth circuit using some specific universal gate set.

研究の動機と目的

• 非同一性チェック問題が、有界または短い深さの量子回路においても QMA-完全性を保つかどうかを特定すること。
• ゲートの精度とユニバーサルゲートセットの制限が、非同一性チェック問題の複雑さに与える影響を調査すること。
• 一般回路から短い深さの量子回路という物理的に関連性の高い領域への既知の QMA-完全性の結果の拡張を図ること。
• 非同一性チェックの困難性が、回路の深さ制約とゲートセットの制限の下でも安定していることを確立すること。

提案手法

• 既に QMA-完全であることが知られている 1 次元局所ハミルトニアン問題を、定数深さの量子回路における非同一性チェック問題に還元すること。
• Trotter近似を用いて、$ U_H = e^{iH_{\text{even}}t}e^{iH_{\text{odd}}t} $ の形のユニタリ回路を構築し、定数深さで時間発展演算をシミュレートすること。
• スペクトル解析と固有値範囲の議論を用いて、ハミルトニアン問題のプロミスギャップと回路の位相範囲 $ \alpha(U_H) $ を関連させること。
• ソロベイ＝キタエフ定理を適用して、任意のゲートを有限なユニバーサルゲートセットで近似し、誤差境界が逆多項式ギャップ内に保たれることを保証すること。
• ゲート誤差のトレースノルムを用いて、位相範囲 $ \alpha $ における総誤差をバウンディングし、それがしきい値ギャップより小さくなることを示すこと。
• ゲート近似の下でも非同一性チェック問題におけるプロミスギャップが保存されることを確立し、QMA-完全性が維持されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同一性チェック問題は、定数深さの量子回路に制限された場合でも QMA-完全のままか？
• RQ2 短い深さの回路において QMA-完全性を保つために必要なゲート精度の水準は何か？
• RQ3 有限なユニバーサルゲートセットを用いて、非同一性チェックの QMA-完全性を多対数的または対数的深さの回路へ拡張できるか？
• RQ4 ゲート近似誤差は、非同一性チェック問題における位相範囲とプロミスギャップにどのように影響するか？
• RQ5 限られたゲート精度と固定されたユニバーサルゲートセットといった物理的制約の下でも、非同一性チェックの困難性は頑健か？

主な発見

• 各ゲートが Ω(log n) ビットの精度で指定される限り、定数深さの量子回路における非同一性チェック問題は QMA-完全である。
• 任意の有限ユニバーサルゲートセットから構成される回路について、回路の深さが O(log^δ(n))（δ ≈ 3）である限り、問題は QMA-完全のままである。
• 特定のユニバーサルゲートセットが存在し、それに対しては対数的深さの回路においても非同一性チェック問題は QMA-完全である。
• 1 次元局所ハミルトニアン問題から非同一性チェック問題への還元は、プロミスギャップを保存し、定数深さの制約下でも QMA-完全性を維持する。
• ソロベイ＝キタエフ定理によるバウンディングにより、ゲート近似誤差はプロミスギャップを閉じないため、有限なゲートセット下でも問題は依然として困難である。
• 回路の位相範囲 $ \alpha $ における総誤差は、π にゲート誤差ノルムの和を乗じたものでバウンディングされ、これを逆多項式プロミスギャップより小さくできる。