[論文レビュー] Nonparametric two-sample hypothesis testing for low-rank random graphs of differing sizes

Joshua Agterberg, Minh Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Complex Network Analysis Techniques参考文献 59被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、サイズが異なる、負の固有値および重複固有値を有する低ランクランダムグラフに対する非パラメトリックな二標本検定を提案する。最大平均差分（MMD）を回転させたグラフ埋め込みに適用し、回転は最適輸送を用いて推定される。十分な密度下で一貫性を達成し、実際の応用ではナイーブなアライメントより性能が向上する。

ABSTRACT

Given two networks of differing sizes, it is of interest to test whether the two networks belong to the same distribution. We formalize the notion of "equality of distribution" under the framework of the generalized random dot product graph, which considers as special cases a number of popular network models with low-rank expectations. We then propose a nonparametric two-sample test statistic to conduct this test, assuming only that the networks have independent edges generated from low-rank probability matrices. Our proposed test statistic involves using the maximum mean discrepancy applied to suitably rotated rows of a graph embedding, where the rotation is estimated using optimal transport. We show that our test statistic, appropriately scaled, is consistent for sufficiently dense graphs, and we study its convergence under different sparsity regimes, and our results are demonstrated in numerical simulations.

研究の動機と目的

• サイズが異なる、負の固有値および非常に近い固有値を有する低ランクランダムグラフの差異を検出する課題に対処すること。
• これらの複雑なスペクトル的条件下でも有効な非パラメトリックな検定統計量を開発すること。
• 特に重複固有値や負の固有値を有する状況において、固有値ギャップ仮定に基づくナチュラルアライメントを越えた埋め込みアライメントを改善すること。
• 十分なグラフ密度下で検定統計量の一貫性を確立すること。
• 提案手法の最適輸送に基づくアライメントと、標準的な固有値ギャップに基づくアライメントを比較する実験的評価を行うこと。

提案手法

• 方法は、隣接行列から得られるグラフ埋め込みの各行に最大平均差分（MMD）を適用する。
• MMD計算の前に行う意味のあるアライメントのため、埋め込みの各行の最適な回転を最適輸送を用いて推定する。
• 十分に密度の高いグラフに対して一貫性を確保するために、検定統計量を適切にスケーリングする。
• 固有値ギャップ仮定に依存しないことで、負の固有値および重複固有値に対しても対応可能である。
• スパarsityの異なる設定（密グラフおよび疎グラフ）における収束性を理論的に分析する。
• シミュレーションおよび実世界のグラフデータを用いた実験的検証により、提案手法の回転手法とナイーブなアライメント手法を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の固有値および重複固有値を有する低ランクランダムグラフに対して、非パラメトリックな二標本検定を一貫して適用可能か？
• RQ2 最適輸送に基づくグラフ埋め込みのアライメントは、実際の応用において標準的な固有値ギャップに基づくアライメントを上回るか？
• RQ3 特に疎グラフと密グラフの状況において、スパarsityの異なる設定下で検定統計量はどのように振る舞うか？
• RQ4 サイズが異なるグラフに適用した場合、提案されたMMDに基づく検定統計量は一貫性を示すか？
• RQ5 スペクトル的退化（負の固有値および重複固有値）は、標準的なグラフ比較手法の性能にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 適切にスケーリングされた提案された検定統計量は、負の固有値および重複固有値を有する十分に密度の高い低ランクランダムグラフに対して一貫性を示す。
• 実験的結果から、最適輸送に基づくアライメント手順が、検定のパワーとロバストネスの観点でナチュラルな固有値ギャップに基づくアライメントを上回ることが示唆される。
• 標準的なスペクトル的手法が無効となる場合でも、エッジ確率行列に負の固有値が存在する状況においても、本手法は有効である。
• 理論的収束性は密グラフ仮定下で確立されており、異なるスパarsityの設定においても良好な性能を維持する。
• 回転させた埋め込み上でのMMDの使用により、スペクトル的退化およびグラフサイズの違いに対してロバストな非パラメトリックな比較が可能になる。
• 固有値ギャップ検出や正定値仮定に依存する従来のグラフ比較手法とは対照的に、本フレームワークは原理的かつ整合的な代替手法を提供する。