[論文レビュー] Observables and States p-Mechanics

Alastair Brodlie, Vladimir V. Kisil|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヘイゼンベルク群上の畳み込み作用素を用いて、古典的および量子力学を統一する枠組みであるp力学を導入する。p観測量およびp状態（正の線形汎関数として定義される）は、既約表現において古典的および量子力学を再現し、動的挙動はリウヴィル型方程式に従い、強制された調和振動子においてもコherenceが保たれることを示している。

ABSTRACT

This is an up-to-date survey of the p-mechanical construction (see funct-an/9405002, quant-ph/9610016, math-ph/0007030, quant-ph/0212101, quant-ph/0303142), which is a consistent physical theory suitable for a simultaneous description of classical and quantum mechanics. Observables in p-mechanics are defined to be convolution operators on the Heisenberg group H^n. Under irreducible representations of H^n the p-observables generate corresponding observables in classical and quantum mechanics. p-States are defined as positive linear functionals on p-observables. It is shown that both states and observables can be realised as certain sets of functions/distributions on the Heisenberg group. The dynamical equations for both p-observables and p-states are provided. The construction is illustrated by the forced and unforced harmonic oscillators. Connections with the contextual interpretation of quantum mechanics are discussed. Keywords: Classical mechanics, quantum mechanics, Moyal brackets, Poisson brackets, commutator, Heisenberg group, orbit method, deformation quantisation, symplectic group, representation theory, metaplectic representation, Berezin quantisation, Weyl quantisation, Segal--Bargmann--Fock space, coherent states, wavelet transform, Liouville equation, contextual interpretation, interaction picture, forced harmonic oscillator.

研究の動機と目的

• 古典的および量子力学を1つの形式的枠組み内で一貫して記述する統一的数学的枠組みを構築すること。
• 従来の可換代数的定式化における観測量の次元不一致を解消するため、p力学では代数の代わりに対称空間を用いること。
• ヘイゼンベルク群上のリウヴィル型方程式を用いて、p状態の動的記述を提供すること。
• 文脈依存確率をモデル化することで、p力学を量子力学の文脈的解釈と結びつけること。

提案手法

• p観測量をヘイゼンベルク群Hⁿ上の畳み込み作用素として定義し、核が物理的観測量を表すようにする。
• 軌道法およびフォック空間を用いて、Hⁿの既約ユニタリ表現を通じて、量子および古典的観測量を実現する。
• p状態をp観測量上の正の線形汎関数として表現し、ウェーブレット変換およびベレジン量論化を用いて核を表現する。
• p力学的括弧および相互作用表示を用いて、p観測量およびp状態の動的方程式を導出し、シンプレクティック不変性を保つ。
• メタプレクティック表現およびコherent状態を用いて、ユニタリな時間発展演算と時間発展における安定性を保証する。
• 調和振動子に形式を適用し、コherent状態が時間発展演算においてもコherent状態のままであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群表現論を用いて、群作用素論的枠組み内で古典的および量子力学を一貫して統一することは可能か？
• RQ2 ヘイゼンベルク群およびその畳み込み代数は、古典的および量子観測量を生成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 p状態はどのように定義され、正の性質と物理的整合性を保ちながら動的に進化させることができるか？
• RQ4 p力学的形式は、調和振動子におけるコherent状態の進化といった既知の結果を再現できるか？
• RQ5 p力学は、確率の動的挙動を通じて、量子力学の文脈的解釈をどのように支持または拡張するか？

主な発見

• p観測量はヘイゼンベルク群上の畳み込み作用素として実現され、その既約表現における作用によって、標準的な量子および古典的観測量が得られる。
• p状態はp観測量上の正の線形汎関数として定義され、ヘイゼンベルク群上のリウヴィル型方程式がその動的挙動を支配する。
• 強制された調和振動子におけるコherent状態の時間発展演算は、位相積分を含む明示的解によって、コherentのままであることが示された。
• p状態の動的方程式は、時系列に整列された畳み込みの下での指数的進化の形に簡略化され、初期状態の構造が保たれる。
• この枠組みは自然に文脈的確率則を支持しており、結合事象の確率が実験的文脈に依存し、古典的加法性の失敗を回避する。
• p力学的状態の動的挙動は、量子現象論の統一的モデルとして、ヒルベルト空間の重ね合わせを必要とせず、古典的統計力学と整合する。