[論文レビュー] On a new definition of fractional differintegrals with Mittag-Leffler kernel

Arran Fernandez, Dumitru Bǎleanu|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Mittag-Leffler核を有するAtangana-Baleanu（AB）積分を反復的に適用することにより、新たな分数階微分積分作用素を導入する。この作用素は、半群性を満たし、有界である2パラメータ族を形成する。主な貢献は、非局所性を保持しつつ、半群構造による数学的整合性を向上させた、新しい分数階微分積分モデルの構築である。これにより、可変オーダー動的系に対する分数階常微分方程式の厳密解が可能となる。

ABSTRACT

We introduce and study the properties of a new family of fractional differential and integral operators which are based directly on an iteration process and therefore satisfy a semigroup property. We also solve some ODEs in this new model and discuss applications of our results.

研究の動機と目的

• 既存の分数階作用素における主要な制限を克服するため、半群性を満たす新しい分数階微分積分モデルの開発を目的とする。
• ABモデルをその積分表現の反復によって拡張し、2パラメータの微分積分作用素族を導出することを目的とする。
• 新しい作用素に対して、有界性やラプラス変換の振る舞いを含む基本的な解析的性質の確立を目的とする。
• 新しいモデルにおける分数階常微分方程式の解法を実施し、電子回路などの可変オーダー動的系への応用を示すことを目的とする。
• 非局所的で複雑な系をより優れた構造的性質を備えた数学的整合性の高いフレームワークでモデル化することを目的とする。

提案手法

• 新しい微分積分作用素は、Atangana-Baleanu分数階積分の反復によって定義され、順序が上昇するリーマン＝リウビル積分を含む級数展開として表現される。
• 作用素はディラックのデルタ関数とべき則カーネルを用いた分布的表現として表現され、解析的取り扱いが可能となる。
• 新しい作用素のラプラス変換が導出され、周波数領域における挙動が明らかにされる。
• 2つの作用素（オーダーαおよびβ）の合成が、オーダーα+βの作用素を生成することを、厳密に証明することで半群性が確立される。
• 分数階常微分方程式の解法に、べき級数アンザッツを適用し、級数展開の係数を等置することにより得られる再帰的関係式によって決定される。
• モデルは、電子回路の緩和をモデル化する可変オーダー常微分方程式に適用され、解はt^{mα}のべき級数として表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AB積分の反復によって、半群性を満たす新たな分数階微分積分作用素を構築できるか？
• RQ2 新しい2パラメータ分数階作用素の合成における挙動はいかなるものか。有界性および解析性を保つのか？
• RQ3 新しいモデルを用いて可変オーダー動的系を有する分数階常微分方程式を解くことができるか。解の構造的性質は何か？
• RQ4 数学的整合性および適用可能性の観点から、ABモデルやリーマン＝リウビルモデルと比較して、新しい作用素はどのように異なるか？
• RQ5 Mittag-Leffler関数およびパrameter B(α)は、新しい分数階微分積分の力学的挙動をどのように規定しているか？

主な発見

• 新しい分数階微分積分作用素は、半群性を満たしており、オーダーαおよびβの作用素の合成が、オーダーα+βの作用素を生成することを意味する。これは、非半群型モデルに比べ顕著な改善である。
• 作用素はL¹[a,b]上で有界であり、関数空間における安定性および適切な定式化を保証する。
• 新しい作用素のラプラス変換が導出され、Mittag-Leffler関数を含むことが示された。これにより、ABモデルの主要な解析的特徴が保持される。
• 方程式 $\mathcal{D}_{0+}^{(\alpha,\beta)}f(t) = -Cf(t) + q(t)$ の解が、$t^{m\alpha}$ のべき級数として導出され、係数は再帰的に決定される。
• 初期条件に対しては、$a_0 = \frac{c_0}{C + \left(\frac{B(\alpha)}{1-\alpha}\right)^\beta}$ が得られ、これは駆動関数および系パrameterに依存する。
• 解の構造から、力学的挙動が駆動関数と一般化二項係数およびガンマ関数に符号化された記憶カーネルの組み合わせによって支配されていることが明らかになる。