[論文レビュー] On CM values of Borcherds products and harmonic weak Maass forms of weight one

Stephan Ehlen|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正格なtheta被覆と$ξ$-作用素を用いて、直交モジュラー多様体上のボルチェルズ積のCM値が、重さ1の調和的弱マース形式の正則部の係数によって表現可能であることを確立する。この結果、特異モジュラーのグロス＝ツァイジャー定理が、より高ランクの直交群へ一般化される。

ABSTRACT

We show that the values of Borcherds products on Shimura varieties of orthogonal type at certain CM points are given in terms of coefficients of the holomorphic part of weight one harmonic weak Maass forms. Furthermore, we investigate the arithmetic properties of these coefficients. As an example, we obtain an analog of the Gross-Zagier theorem on singular moduli.

研究の動機と目的

• 直交モジュラー多様体上のボルチェルズ積のCM値の算術的性質を理解すること。
• これらのCM値を重さ1の調和的弱マース形式のフーリエ係数と結びつけること。
• 特異モジュラーに関するグロス＝ツァイジャー定理を、より高ランクの直交群へ一般化すること。
• 正則化theta被覆と$ξ$-作用素を用いてCM値の明示的公式を確立すること。
• CMサイクルから生じる重さ1の調和的弱マース形式の正則部の係数を特徴付けること。

提案手法

• 正則化theta被覆を用いて、$ξ$-作用素を通じてボルチェルズ積と調和的弱マース形式を関連付ける。
• $ξ$-作用素を適用し、重さ1の弱正則モジュラー形式へ調和的弱マース形式を写像する。
• theta被覆を用いて、ボルチェルズ積のCM値をモジュラー形式の内積の定数項として表現する。
• Kohnenのプラス空間におけるベクトル値型とスカラー値型の弱正則モジュラー形式の間の同型を用いる。
• 入力形式$f_d$の前像における特定のフーリエ係数が消えるように保証するため、条件$\prod_{p\mid D}(1 + 1/p) \leq 3$を課す。
• 入力形式$f_d$によって重み付けられた係数$c_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^+(n)$の和としてCM値の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交モジュラー多様体上のボルチェルズ積のCM値は、重さ1の調和的弱マース形式の係数とどのように関係するか？
• RQ2 調和的弱マース形式を介して、特異モジュラーに関するグロス＝ツァイジャー定理をより高ランクの直交群へ一般化できるか？
• RQ3 CMサイクルから生じる重さ1の調和的弱マース形式の正則部の係数の明確な算術的構造は何か？
• RQ4 前像における特定のフーリエ係数が消えるように$ξ$-作用素の前像をどのように選べるか？
• RQ5 正則化theta被覆は、モジュラー形式の内積としてCM値をどのように符号化するか？

主な発見

• CM点におけるボルチェルズ積のCM値は、重さ1の調和的弱マース形式の正則部のフーリエ係数の線形結合として与えられる。
• CM値の公式は、$\sum_{n\equiv 0,1\bmod 4} f_d(n) \sum_{m\in\mathbb{Z}} \delta(m) \, c_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^+\left(\frac{nD - m^2}{4}\right)$ として表され、ここで$f_d$は重さ$1/2$の弱正則モジュラー形式である。
• $\prod_{p\mid |D|}(1 + 1/p) \leq 3$ のとき、$n > 0$ に対して係数$c_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^+(n)$ は消えるため、式が簡略化される。
• この結果はグロス＝ツァイジャー定理を一般化する：$d < 0$ で基本的判別式のとき、$\Phi(\alpha_{\mathfrak{a}}, F_d) = -4\log\left|\prod_{\mathfrak{b}\in\operatorname{Cl}(-d)}(j(\alpha_{\mathfrak{a}}) - j(\alpha_{\mathfrak{b}}))\right|^{2/w_d}$ が成り立つ。
• 調和的弱マース形式$\theta_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^\prime$ の正則部が、$\xi_1$ による$\theta_{[\mathfrak{a}(h)]^2}$ の前像であることが示された。
• 構成により、$\theta_{[\mathfrak{a}(h)]^2}^\prime$ が$\mathcal{H}_1(\Gamma_0(|D|), \chi_D)$ 内のスカラー値調和的弱マース形式と同一視され、明示的な係数計算が可能になる。