[论文解读] On defining functions for unbounded pseudoconvex domains

Tobias Harz, Nikolay Shcherbina+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文证明了在复流形中，即使区域无界或环境流形非Stein，严格拟凸域（具有光滑边界）也存在全局定义函数。关键贡献在于引入了区域的“核心”——即所有有界全纯凸函数均不严格全纯凸的点的集合——并证明可构造一个全局定义函数，使其在该核心之外严格全纯凸，而该核心被证明为1-拟凹，且通常缺乏解析结构。

ABSTRACT

We show that every strictly pseudoconvex domain $Ω$ with smooth boundary in a complex manifold $\mathcal{M}$ admits a global defining function, i.e., a smooth plurisubharmonic function $φ\colon U o \mathbb R$ defined on an open neighbourhood $U \subset \mathcal{M}$ of $\overlineΩ$ such that $Ω= \{φ< 0\}$, $dφ eq 0$ on $bΩ$ and $φ$ is strictly plurisubharmonic near $bΩ$. We then introduce the notion of the core $\mathfrak{c}(Ω)$ of an arbitrary domain $Ω\subset \mathcal{M}$ as the set of all points where every smooth and bounded from above plurisubharmonic function on $Ω$ fails to be strictly plurisubharmonic. If $Ω$ is not relatively compact in $\mathcal{M}$, then in general $\mathfrak{c}(Ω)$ is nonempty, even in the case when $\mathcal{M}$ is Stein. It is shown that every strictly pseudoconvex domain $Ω\subset \mathcal{M}$ with smooth boundary admits a global defining function that is strictly plurisubharmonic precisely in the complement of $\mathfrak{c}(Ω)$. We then investigate properties of the core. Among other results we prove 1-pseudoconcavity of the core, we show that in general the core does not possess an analytic structure, and we investigate Liouville type properties of the core.

研究动机与目标

• 在复流形中，对任意具有光滑边界的严格拟凸域（即使区域无界或流形非Stein）建立全局定义函数的存在性。
• 定义并分析“核心”作为点集，即每个有界全纯凸函数在此处均不严格全纯凸的点的集合。
• 证明存在一个全局定义函数，其在核心之外严格全纯凸，从而刻画了严格全纯凸性失效的障碍。
• 研究核心的几何与解析性质，包括其拟凹性、缺乏解析结构以及Liouville型行为。
• 探讨核心结构的开放问题，包括其在子域下的不变性、其拓扑与全纯势性质。

提出的方法

• 将区域 Ω ⊂ M 的核心定义为：所有在 Ω 上光滑且上界有界的全纯凸函数在此处均不严格全纯凸的点的集合。
• 在 Ω 的闭包邻域上构造一个全局定义函数 φ，使得 φ 光滑，U 上全纯凸，边界附近严格全纯凸，且 φ < 0 当且仅当在 Ω 内。
• 采用Grauert工作中的方法变体，将定义函数全局化，适用于非相对紧且非Stein的情形。
• 通过分析全纯凸函数及其Levi形式的行为，证明核心为1-拟凹。
• 通过Weierstrass乘积与Poisson-Jensen估计等显式构造例子，表明核心可为不可数集，不含正维解析子集，且具有非平凡的多项式凸包。
• 在核心上应用Liouville型定理与最大值原理，分析有界全纯凸函数及其在连通分支上的常值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个复流形中的严格拟凸域是否都存在一个全局定义函数，使其在核心之外严格全纯凸？
• RQ2 能否将核心表征为不含正维解析子集的集合，并满足多项式凸性性质？
• RQ3 核心是否可能具有非空内部或正的全纯极小测度，或是否可能包含Fatou-Bieberbach区域？
• RQ4 当 Ω 的核心包含于子域 ω ⊂ Ω 时，ω 的核心是否等于 Ω 的核心？
• RQ5 当环境流形为Stein时，核心的所有极大连通分支是否均为相对非紧？

主要发现

• 任何具有光滑边界的严格拟凸域在复流形中均存在一个全局定义函数，其在核心的补集上严格全纯凸。
• 区域的核心总是1-拟凹的，即其Levi形式满足某种曲率条件。
• 核心通常缺乏解析结构：它不包含任何正维解析子簇，即使在某些情况下为不可数且紧致的集合。
• 对任意 R > 0，有 bB^n(0,R) ∩ core(Ω) 的多项式凸包等于 B^n(0,R) ∩ core(Ω) 的闭包，表明其具有强多项式凸性。
• 存在核心为不可数、紧致且不含任何解析集的区域，可通过Weierstrass乘积方法与Poisson-Jensen估计构造。
• 核心在某些操作下具有不变性：若 Ω 的核心包含于子域 ω 中，则 ω 的核心等于 Ω 的核心，但此性质在一般情况下未必成立（开放问题）。